Question

一行星探測器，完成探測任務后從行星表面豎直升空離開該行星．假設該探測器質量恒為M=1500kg，發動機工作時產生的推力為恒力，行星表面大氣層對探測器的阻力大小不變．探測器升空后一段時間因故障熄滅，發動機停止工作．圖示是探測器速度隨時間變化的關系圖線．已知此行星的半徑為6000km，引力常量為G=6.67×10^-11N?m²/kg²，并認為探測器上升的高度范圍內的重力加速度不變．求：
（1）該行星表面的重力加速度；
（2）探測器發動機工作時產生的推力；
（3）該行星的平均密度．

Answer 1

【答案】分析：在速度-時間圖象中，某一點代表此時刻的瞬時速度，時間軸上方速度是正數，時間軸下方速度是負數；切線的斜率代表該位置的加速度，向右上方傾斜，加速度為正，向右下方傾斜加速度為負；
根據牛頓第二定律列出等式求解．
在行星表面根據萬有引力等于重力表示出行星的質量，再根據密度公式求解．
解答：解：（1）根據圖象和運動學公式可知：
0～8s內，探測器的加速度大小 a₁=10.5m/s²
8～20s內，探測器的加速度大小a₂=7 m/s²
20～36s內，探測器的加速度大小a₃=5m/s²
設空氣阻力為f，根據牛頓第二定律，
8～20s內：mg+f=ma_{2 ①}
分20～36s內：mg-f=ma_{3 ②}
由①②解得：g=6m/s²
        f=1500 N
（2）根據牛頓第二定律，
0～8s內：F-mg-f=ma₁     F為探測器發動機工作時產生的推力，
∴F=26250 N
（3）在行星表面根據萬有引力等于重力列出等式：
=mg  ③
M=ρ?πR³      ④
由③④解得：ρ==3.58×10³ kg/m³
答：（1）該行星表面的重力加速度是6m/s²；
（2）探測器發動機工作時產生的推力是26250 N；
（3）該行星的平均密度是3.58×10³ kg/m³．
點評：本題是為速度--時間圖象的應用，要明確斜率的含義，能根據圖象讀取有用信息結合牛頓第二定律解題．