Question

4．如圖甲所示，光滑絕緣斜面AB，高h=0.1m，底端B與一塊質量為M=2kg的均勻、水平放置的絕緣平板平滑連接，平板長為L=1m，其距B端0.6m處C點固定在高為R=0.5m的豎直支架上，支架的下端與垂直于紙面的固定轉軸O連接，平板可繞轉軸O沿順時針方向翻轉，在支架正上方有一個水平向右的有界勻強電場E．在斜面頂端A放一帶正電q=1×10^-5C的很小的物體，使其由靜止滑下，并沿平板進入電場．重力加速度g取10m/s²．

（1）若小物體與平板間的動摩擦因數μ₁=0.4，從板右端的D點水平飛出，要使板不翻轉，小物體質量m₁不能超過多少？
（2）小物體取小題（1）的最大質量，動摩擦因數仍為μ₁=0.4，要保證小物體能從D點水平飛出，電場強度E的至少為多少？
（3）若另一小物體能從D點水平飛出，且落地點與D的水平距離x隨電場強度E大小變化而變化，圖乙是x²與E關系的圖象，則小物體的質量m₂為多大？其與平板間的動摩擦因數μ₂是多大？

Answer 1

分析 （1）當物體滑到D點，平板恰好不翻轉時物體的質量最大，由力矩平衡條件求出質量的最大值．
（2）當物體恰好滑到D點時，速度為零，由動能定理求解水平勻強電場E的最小值．
（3）從A到D的過程，根據動能定理得到物體滑到D點時的速度v，物體從D點滑出后做平拋運動，下落高度為R，R=$\frac{1}{2}$gt²，水平位移x=vt，
聯立得到x²與E的關系，由圖象讀出斜率和截距，進而求出小物體的質量及其與平板間的動摩擦因數．

解答 解：（1）當物體滑到D點，平板恰好不翻轉時物體的質量最大，以O點為支點，由力矩平衡條件得：
MgL₁=m₁gL₂+μ₁m₁gR，
由題意知，L₁=0.1m，L₂=0.4m，M=2kg，R=0.5m，μ₁=0.4，
代入數據解得：m₁=$\frac{1}{3}$kg．   
（2）當物體恰好滑到D點時，速度為零，由動能定理得：
m₁gh+qEL-μ₁m₁gL=0，
則有：E=$\frac{{μ}_{1}{m}_{1}gL-{m}_{1}gh}{qL}$，
代入數據解得：E=1×10⁵N/C．
（3）A到D動能定理得
m₂gh+qEL-μ₂m₂gL=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$，
物體做平拋運動的過程：
R=$\frac{1}{2}$gt²，x=vt，
聯立以上各式可解得，x²=$\frac{4EqLR}{{m}_{2}g}$+4R（h-μ₂L）
由圖象可得斜率為：
k=$\frac{2.6-0.8}{（2.8-1）×1{0}^{5}}$=1×10^-5m²N/C，
又因為k=$\frac{4qLR}{{m}_{2}g}$，即m₂=$\frac{4qLR}{kg}$=0.2kg，
由圖象可得截距為：b=0.2 m²
又由b=4R（h-μ₂L）得，其與平板間的動摩擦因數：
解得：μ₂=$\frac{h}{L}$-$\frac{b}{4RL}$=0.2．
答：（1）小物體質量m₁不能超過$\frac{1}{3}$kg；
（2）要保證小物體能從D點水平飛出，電場強度E的至少為1×10⁵N/C；
（3）小物體的質量m₂為0.2kg；其與平板間的動摩擦因數μ₂是0.2．

點評 本題是動能定理、平拋運動、力矩平衡與圖象的綜合應用，由物理規律得到x²與E的關系式，根據數學知識求解有關量，有一定的難度．