Question

12．兩個完全相同的物體A和B，在同一地點，物體A由靜止開始釋放，豎直下落；物體B由水平方向拋出．不計空氣阻力時，A、B將同時落到地面上．若考慮空氣阻力的存在，在下面兩種情況下．試分析A、B是否同時落地，如不同時落地請說明落地的先后．
（1）空氣阻力與速度成正比；
（2）空氣阻力與速度的平方成正比．

Answer 1

分析 對兩種情況下的小球進行受力分析，然后結合牛頓第二定律與勻變速直線運動的特點即可正確解答．

解答 解：（1）若空氣阻力與速度成正比；即f∝v
剛剛開始運動時，做自由落體運動的物體在豎直方向受到的阻力是0，隨速度的增大，阻力增大，始終滿足：f∝v；
剛剛開始運動時，做平拋運動的物體在豎直方向受到的阻力是0，隨豎直方向分速度的增大，合速度：
$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
阻力：f∝v∝$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
豎直方向：f_y∝$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$sinθ，θ是合速度與水平方向之間的夾角．由以上的公式可知，在豎直方向上，做平拋運動的物體豎直方向受到的阻力不是與豎直方向的分速度成正比，由公式可知，該阻力沿豎直方向的分力要小于做自由落體運動的物體在豎直方向受到的分力，所以做平拋運動的物體先落地．
（2）若空氣阻力與速度的平方成正比．即f∝v²；
剛剛開始運動時，做自由落體運動的物體在豎直方向受到的阻力是0，隨速度的增大，阻力增大，始終滿足受到的阻力與速度的平方成正比，即：f∝v²；
做平拋運動的物體在豎直方向受到的阻力是0，隨豎直方向分速度的增大，合速度：
$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
阻力：f∝v² ∝$（{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}）$
豎直方向的阻力：f_y′∝$（{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}）$•sin²θ=$（{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}）$•$（\frac{{v}_{y}}{\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}}）^{2}$=${v}_{y}^{2}$
可知做平拋運動的物體在豎直方向受到的阻力與豎直方向分速度的平方成正比．
可知，兩種情況下豎直方向的受力與都與豎直方向的分速度平方成正比，是相同的，所以二者同時落地．
答：（1）空氣阻力與速度成正比是做平拋運動的物體先落地；
（2）空氣阻力與速度的平方成正比時二者同時落地．

點評 該題結合牛頓第二定律考查平拋運動，掌握矢量合成的平行四邊形定則和分運動的獨立性是解決本題的關鍵．
該題是自招的考試題，有一定的能力的同學可以選做，而一般的同學不建議做．