Question

20．長為L的輕桿一端安在光滑固定轉動軸O上，另一端固定有一只質量為m的小球A（視為質點）．給小球一個初速度，使它在豎直面內繞O做圓周運動，已知：當小球到達最高點時，小球對桿的壓力大小為小球重力的$\frac{1}{4}$；小球通過最低點時速度大小為$\frac{\sqrt{19gL}}{2}$．求：
（1）小球通過最高點時的速率v．
（2）小球通過最低點時對桿的拉力大小F．

Answer 1

分析 （1）小球通過最高點時，受重力和桿的支持力作用，桿的支持力和重力和合力提供向心力，根據牛頓第二定律求解速率v．
（2）小球通過最低點時，由桿的拉力和重力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求解拉力F．

解答 解：（1）小球在最高點的受力如圖：小球在最高點的向心力由mg和N的合力來提供，由牛頓第二定律得：
mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
據題有：N=$\frac{1}{4}$mg
解得：v=$\frac{\sqrt{3gL}}{2}$
（2）小球在最低點時，桿對小球的拉力為F′，受力如圖．同理由牛頓第二定律得：
F′-mg=m$\frac{v{′}^{2}}{L}$
又 v′=$\frac{\sqrt{19gL}}{2}$
得：F′=5.75mg
由牛頓第三定律可知，小球對桿的拉力大小為：
F=F′=5.75mg
答：（1）小球通過最高點時的速率v是$\frac{\sqrt{3gL}}{2}$．
（2）小球通過最低點時對桿的拉力大小F是5.75mg．

點評 解答豎直平面內圓周運動的問題，關鍵通過分析受力，確定向心力的來源，運用牛頓第二定律求解．