Question

16．半徑為R的光滑半圓環形軌道固定在豎直平面內，環形軌道的最高點記為A，最低點記為B．從與半圓環相吻合的光滑斜軌上高h=3R處，釋放一小球，小球的質量為m，如圖所示．求：
（1）小球經過A點時的速度大小v_A．
（2）小球經過B點時，球對圓環作用力的大小．

Answer 1

分析 （1）小球下滑的過程中，只有重力做功，根據機械能守恒定律求出A點的速度大小v_A；
（2）先由機械能守恒定律求出小球到達B點的速度大小v_B；在B點，以小球為研究對象，根據牛頓第二定律求出圓環對球的支持力，再根據牛頓第三定律求解球對圓環的壓力．

解答 解：（1）A球從斜軌最高點到半圓環形軌道最高點的過程，由機械能守恒定律得：
    mg（3R-2R）=$\frac{1}{2}$×mv_A²，解得  v_A=$\sqrt{2gR}$
（2）B球從斜軌最高點到半圓環形軌道最低點的過程，由機械能守恒定律，有：
   3mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²，解得  v_B=$\sqrt{6gR}$．
設半圓環形軌道對小球在B的作用力F_NB，F_NB方向豎直向上．
根據牛頓第二定律得  F_NB-mg=$\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$，解得 F_NB=7mg
根據牛頓第三定律得，小球對圓環在B的作用力分別為  F′_NB=7mg，
答：
（1）小球經過A點時的速度大小v_A是$\sqrt{2gR}$．
（2）小球經過B點時，球對圓環作用力的大小是7mg．

點評 本題是向心力和機械能守恒定律的綜合應用，要知道速度是它們之間聯系的紐帶，要明確在B點，由合力提供小球所需要的向心力．