Question

13．如圖所示，將半徑為R的透明半球體放在水平桌面上方，O為球心，直徑恰好水平，軸線OO′垂直于水平桌面．位于O點正上方某一高度處的點光源S發出一束與OO′，夾角θ=60°的單色光射向半球體上的A點，已知透明半球體對該單色光的折射率為$\sqrt{3}$，光在真空中傳播速度為c，不考慮半球體內光的反射，求：
（1）光線通過半球體后射到桌面上的位置B（圖中未畫出）到O′的位置；
（2）該光在半球體內傳播的時間t．

Answer 1

分析 （1）根據光從光疏介質射入光密介質，入射角大于折射角，從光密介質射入光疏介質，入射角小于折射角，作出光路圖．根據折射定律和幾何關系，求出兩次折射的折射角，并由幾何知識求B到O′的距離．
（2）由v=$\frac{c}{n}$求出光在半球體中傳播的速度，由數學知識求出光在半球體中傳播的距離，即可求得傳播時間t．

解答 解：（1）光從光源S射出經半球體到達水平桌面的光路如圖．

光由空氣射向半球體，入射角 θ=60°
半球體的折射率：n=$\sqrt{3}$                    
由折射定律，有 n=$\frac{sinθ}{sinα}$                     
代入數據解得：α=30°
光由半球射入空氣，由幾何關系可知α+β=60°，故有：α=β=30°           
又由折射定律，有 n=sin$\frac{sinγ}{sinβ}$      
 解得折射角為：γ=60°                
由幾何關系可知，出射光線平行于軸線OO′，垂直射到水平桌面上的B點，則
    O′B=Rsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R                  
（2）光在半球體中傳播的速度為：v=$\frac{c}{n}$                      
由幾何知識得 2ACcos30°=R                
得：AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R                  
所以光在半球體中傳播的時間為：t=$\frac{AC}{v}$=$\frac{R}{c}$
答：（1）光線通過半球體后射到桌面上的位置B（圖中未畫出）到O′的位置與B相距$\frac{\sqrt{3}}{2}$R；
（2）該光在半球體內傳播的時間t是$\frac{R}{c}$．

點評 處理幾何光學相關的問題，關鍵是作出光路圖，一定要用直尺準確作圖，然后根據幾何圖形的特點求角或者線段的長度．