Question

1．如圖所示，在磁感應強度為B的勻強磁場中，有一邊長為L的n匝正方形閉合金屬線框abcd，總電阻為R．線框繞與磁場方向垂直的軸勻速轉動產生交流電，已知線框轉動的周期為T，在t=0時刻線框平面與磁場方向垂直，不計轉動軸處的摩擦與空氣阻力．
（1）寫出線框中產生的電動勢e隨時間t的變化瞬時值表達式；
（2）求t=$\frac{T}{12}$時刻線框的ab邊安培力大小F；
（3）求一個周期內外界對線框作的功W．

Answer 1

分析 （1）根據E_m=NBSω求得產生的感應電動勢，從中性面開始計時，即可求得瞬時表達式；
（2）根據瞬時表達式，求得此時的感應電動勢，求得感應電流，根據F=nBIL求得ab邊受到的安培力；
（3）外力做的功等于線圈轉動一周產生的熱量，即可求得

解答 解：（1）線圈轉動的角速度為：$ω=\frac{2π}{T}$，產生的感應電動勢的最大值為：${E}_{m}=nB{L}^{2}ω=\frac{2πnB{L}^{2}}{T}$，在t=0時刻線框平面與磁場方向垂直，故線框中產生的電動勢e隨時間t的變化瞬時值表達式為：$e=\frac{2πnB{L}^{2}}{T}sin\frac{2π}{T}t$
（2）t=$\frac{T}{12}$時刻，回路中產生的感應電動勢為：$e=\frac{πnB{L}^{2}}{T}$，此時回路中的電流為：$I=\frac{e}{R}=\frac{πnB{L}^{2}}{RT}$，ab邊受到的安培力為：F=nBIL=$\frac{π{n}^{2}{B}^{2}{L}^{3}}{RT}$
（3）一個周期內外界對線框作的功：W=$\frac{（\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}）^{2}}{R}•T$=$\frac{2{π}^{2}{n}^{2}{B}^{2}{L}^{4}T}{R}$
答：（1）線框中產生的電動勢e隨時間t的變化瞬時值表達式為$e=\frac{2πnB{L}^{2}}{T}sin\frac{2π}{T}t$；
（2）t=$\frac{T}{12}$時刻線框的ab邊安培力大小F為$\frac{π{n}^{2}{B}^{2}{L}^{3}}{RT}$；
（3）求一個周期內外界對線框作的功W為$\frac{2{π}^{2}{n}^{2}{B}^{2}{L}^{4}T}{R}$

點評 本題考查了電動勢瞬時值和平均值的求法，記住瞬時值表達式的寫法，再求安培力時用交流電的瞬時電流，求電流做功時用交流電的有效值