Question

中國計劃在2017年實現返回式月球軟著陸器對月球進行科學探測，如圖所示，屆時發射一顆運動半徑為r的繞月衛星，登月著陸器從繞月衛星出發，沿橢圓軌道降落到月球的表面上，與月球表面經多次碰撞和彈跳才停下來，假設著陸器第一次彈起的最大高度為h，水平速度為，第二次著陸時速度為，已知月球半徑為R，著陸器質量為m,不計一切阻力和月球的自轉。求：

   （1）月球表面的重力加速度。

   （2）在月球表面發射一顆月球衛星的最小發射速度是多大？

   （3）設想軟著陸器完成了對月球的科學考察任務后，再返回繞月衛星，返回與衛星對接時,二者具有相同的速度，著陸器在返回過程中需克服月球引力做功，則著陸器的發動機應對著陸器做多少功, 才能使著陸器安全返回到繞月衛星。

Answer 1

解：

（1）著陸器從高度為h到第二次著陸，由機械能守恒有：

 

得出月球表面的重力加速度為：

   （2）當衛星的軌道半徑為月球半徑R時，發射速度最小，設最小速度為v，由萬有引力提供向心力有：

        由①②式可得出：  

   （3）著陸器與衛星的對接速度為V3，對繞月衛星由牛頓定律有：

又在月球表面有：

著陸器與衛星的對接時，發動機對著陸器所做的功E，由動能定理有：

          

聯立①④⑤⑥得出：

                  （用表示也給分）