Question

中國計劃在2017年實現返回式月球軟著陸器對月球進行科學探測，宇航員在月球上著陸后，自高h處以初速度v₀水平拋出一小球，測出水平射程為L（這時月球表面可以看作是平坦的），已知月球半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）月球表面處的重力加速度及月球的質量M_月？
（2）如果要在月球上發射一顆繞月球運行的衛星，所需的最小發射速度為多大？
（3）當著陸器繞距月球表面高H的軌道上運動時，著陸器環繞月球運動的周期是多少？

Answer 1

分析：（1）平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做自由落體運動，根據平拋運動的知識求出月球表面的重力加速度．根據萬有引力等于重力求出月球的質量．
（2）以最小速度發射的衛星將貼著月球的表面運行，軌道半徑等于月球的半徑．根據萬有引力提供向心力求出最小的發射速度．
（3）根據萬有引力提供向心力G

Mm

(R+H)

=m(R+H)

4π2

T2

求著陸器環繞月球運動的周期．

解答：解：（1）由平拋運動得

h= 1 2 gt2 L=v0?t

∴g=

2h v 2 0

∠2

著陸器在月球表面有：G

Mm

R2

=mg∴M月=

2hv0R2

GL2

故月球表面處的重力加速度g=

2h v 2 0

∠2

，月球的質量M月=

2hv0R2

GL2

．
（2）著陸器繞月球表面運行有：

G Mm R2 =m v2 R GM=gR2 v= gR = 2h v 2 0 R L2 = v0 L 2hR

故最小的發射速度為

v0

L

2hR

．
（3）由牛頓第二定律有：G

Mm

(R+H)

=m(R+H)

4π2

T2

而GM=gR²
∴T=

4π2L2(R+H)3 2hR2v02

故著陸器環繞月球運動的周期為T=

4π2L2(R+H)3 2hR2v02

．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力等于重力G

Mm

R2

=mg，以及萬有引力提供做衛星做圓周運動的向心力．