Question

中國計劃在2017年實現返回式月球軟著陸器對月球進行科學探測，如圖所示，屆時發射一顆運動半徑為r的繞月衛星，登月著陸器從繞月衛星出發，沿橢圓軌道降落到月球的表面上，與月球表面經多次碰撞和彈跳才停下來，假設著陸器第一次彈起的最大高度為h，水平速度為v₁，第二次著陸時速度為v₂，已知月球半徑為R，著陸器質量為m，不計一切阻力和月球的自轉．求：
（1）月球表面的重力加速度g月．
（2）在月球表面發射一顆月球衛星的最小發射速度是多大？
（3）設想軟著陸器完成了對月球的科學考察任務后，再返回繞月衛星，返回與衛星對接時，二者具有相同的速度，著陸器在返回過程中需克服月球引力做功W=mg月(1-

R

r

)，則著陸器的發動機應對著陸器做多少功，才能使著陸器安全返回到繞月衛星．

Answer 1

分析：（1）著陸器在從高度為h到第二次著陸的過程中機械能守恒，根據機械能守恒定律求出月球表面的重力加速度．
（2）當衛星貼近月球表面飛行時，此時的發射速度最小，根據萬有引力提供向心力，求出最小的發射速度．
（3）根據萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出衛星在半徑為r的軌道上的速度，再通過能量守恒定律求出著陸器的發動機應對著陸器做功的大�。�

解答：解：（1）著陸器從高度為h到第二次著陸，由機械能守恒有：mg月h+

1

2

mv12=

1

2

mv22
得出月球表面的重力加速度為：g月=

v22-v12

2h

----------①
（2）當衛星的軌道半徑為月球半徑R時，發射速度最小，
設最小速度為v，由萬有引力提供向心力有：m衛g月=

m衛v2

R

------------②
由①②式可得出：v=

(V22-V12)R 2h

-------------③
（3）著陸器與衛星的對接速度為V₃，對繞月衛星由牛頓定律有：

GM月m衛′

r2

=

m衛′v32

r

--------------④
又在月球表面有：

GM月m

R2

=mg月---------------------⑤
著陸器與衛星的對接時，發動機對著陸器所做的功E，由能量守恒有：E=W+

1

2

mV32=mg月(1-

R

r

)+

1

2

mV32------⑥
聯立①④⑤⑥得出：E=mg月(1+

R2-2R

2r

)=m

v 2 2 - v 2 1

2h

(1+

R2-2R

2r

)
答：（1）月球表面的重力加速度g月=

v22-v12

2h

．
（2）在月球表面發射一顆月球衛星的最小發射速度是v=

(V22-V12)R 2h

．
（3）著陸器的發動機應對著陸器做功為m

v 2 2 - v 2 1

2h

(1+

R2-2R

2r

)，才能使著陸器安全返回到繞月衛星．

點評：本題綜合考查了萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，以及機械能守恒定律、能量守恒定律等，綜合性較強，對學生的能力要求較高，需加強訓練．