Question

2．現在要求摩擦車由靜止開始在盡量短的時間內走完一段直道，然后駛入一段半圓形的彎道，但在彎道上行駛時車速不能太快，以免因離心作用而偏出車道，有關數據見表格．

啟動加速度a1	4m/s2
制動（剎車）加速度a2	8m/s2
直道最大速度v1	40m/s2
彎道最大速度v1	20m/s2
直道長度s	218m

（1）求從靜止起啟動加速1s車的位移；
（2）若該摩擦車在某一筆直的道路上以40m/s行駛，在出現緊急情況后以最大制動加速度減速制動，它在停下前還要行駛多長的路程？
（3）現在需要求摩擦車在進入彎道前，在直道上行駛的最短時間．
某同學是這樣解的：要使摩擦車所用時間最短，應先由靜止加速到最大速度，然后再減速到20m/s，t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$=…，t₂=$\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{{a}_{2}}$=…，t=t₁+t₂=…，你認為這位同學的解法是否合理，若合理，請完成計算；若不合理，請用你自己的方法算出正確結果．

Answer 1

分析 （1）由位移公式即可求出從靜止起啟動加速1s車的位移；
（2）以最大制動加速度減速制動，末速度等于0，有位移-速度公式即可求出它在停下前還要行駛多長的路程；
（3）通過摩托車先勻加速到最大速度40m/s，在勻減速到20m/s經歷的位移，得出總位移超過直道的長度，知摩托車不能達到最大速度40m/s．若總位移小于直道的長度，知摩托車能以最大速度40m/s勻速運動一定的時間，結合速度位移公式，抓住位移之和等于218m求出摩托車的最大速度，從而結合速度時間公式求出在直道所需的最短時間．

解答 解：（1）從靜止起啟動加速1s車的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×4×{1}^{2}=2$m
（2）以最大制動加速度減速制動的初速度等于40m/s，末速度等于0，加速度等于-8m/s²，
則：${x}_{2}=\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{0-4{0}^{2}}{2×（-8）}=100$m
（3）通過摩托車先勻加速到最大速度40m/s的過程中的位移：
${x}_{3}=\frac{{v}_{m}^{2}-0}{2{a}_{1}}=\frac{4{0}^{2}-0}{2×4}=200$m
然后再減速到：v₂=20m/s，t₂=$\frac{40-20}{8}$=2.5s，
這段時間內的位移為：x₄=$\frac{1}{2}×$（20+40）×2.5=75m，
則x₃+x₄=275m＞218m，說明汽車不能加速到40m/s．
由以上的分析可知，該同學沒有考慮這一種的情況．正確的解答為：
設摩托車加速的最大速度為v_m，則加速階段的位移為：x′₁=$\frac{{v}_{m}^{2}}{{2a}_{1}}$．
隨后減速到v₂發生的位移為：x′₂=$\frac{{{v}_{m}^{2}-v}_{1}^{2}}{{2a}_{2}}$．
且x′₁+x′₂=s           
代入數據 解得：v_m=36m/s    
所以：t′₁=$\frac{36}{4}$=9s，
t′₂=$\frac{36-20}{8}$=2s，
摩托車在直道上行駛所用的最短時間為：t=t′₁+t′₂=11s．
答：（1）從靜止起啟動加速1s車的位移是2m；
（2）它在停下前還要行駛的路程是100m；
（3）該同學的思路不合理，正確結果是11s．

點評 解決本題的關鍵知道摩托車先加速某一速度，在減速到20m/s，所用時間最短，結合速度位移公式和速度時間公式進行求解．