Question

6．如圖，一小球從某一高度水平拋出后，恰好落在第1級臺階的緊靠右邊緣處，反彈后再次下落至第3級臺階的緊靠右邊緣處．已知小球從第一、二次與臺階相碰之間的時間間隔為0.3s，每級臺階的寬度和高度均為18cm．小球每次與臺階碰撞后速度的水平分量保持不變，而豎直分量大小變為碰前的$\frac{1}{4}$，重力加速度g=10m/s²．
（1）求第一次落點與小球拋出點間的水平距離和豎直距離；
（2）分析說明小球是否能夠與第5級臺階相撞．

Answer 1

分析 （1）小球做平拋運動，平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做自由落體運動，由運動學公式求解．
（2）由速度公式求出小球到達第3臺階時的豎直速度，小球離開第3臺階后再運動0.3s，由位移公式求這一過程中的水平位移，與豎直位移比較來判斷．

解答 解：（1）設臺階寬度與高度均為L，則 L=18cm=0.18m
設小球從出發點到第1臺階的時間為t₁，從第1臺階到第3臺階的時間t₂，則 t₂=0.3s．
水平方向有 2L=v₀t₂，
代入數據解得 v₀=1.2m/s
設小球從出發點到第1臺階的豎直速度：v_y=gt₁
從第1臺階到第3臺階，豎直方向：$2L=-\frac{1}{4}{v_y}{t_2}+\frac{1}{2}gt_2^2$
解得  v_y=1.2m/s，t₁=0.12s
第一次落點與小球拋出點間的水平距離  x=v₀t=0.144m，豎直距離  $y=\frac{1}{2}{v_y}{t_1}=0.072m$
（2）小球到達第3臺階時的豎直速度為：${v_y}^′=-\frac{1}{4}{v_y}+g{t_2}=2.7m/s$
小球離開第3臺階后再運動0.3s，這一過程中的水平位移x'=v₀t=0.36m
豎直位移：${y^′}=-\frac{1}{4}{v_y}^′t+\frac{1}{2}g{t^2}=0.248m＜0.36m$
所以小球不能到達第5臺階．
接下來考慮小球是否先與第4臺階相撞，t=0.15s時小球豎直位移 ${y^{′′}}＜\frac{y'}{2}=0.124m＜0.18m$，故小球不會與第4級臺階相撞．
答：（1）第一次落點與小球拋出點間的水平距離是0.144m，豎直距離是0.072m；
（2）小球不能夠與第5級臺階相撞．

點評 此題注重考查學生應用運動的合成與分解解決斜拋運動的問題．若用斜拋運動進行求解，反而會顯得復雜，可見此題重在考查學生應用運動的合成與分解解決問題的能力，更為本質的是考查學生等效法的應用能力，能很好地體現對新課程的過程與方法目標的考查．