Question

17．如圖所示，質量為m₃的物塊靜置于光滑水平面上，其上又靜止放置了一質量為m₂的小物塊，小物塊與下面物塊間的摩擦因數為μ，小物塊上還水平固定一勁度系數為k的輕彈簧．質量為m₁的物塊向右運動，與彈簧發生彈性碰撞并壓縮彈簧，壓縮過程中彈簧始終保持水平．為了使小物塊m₂與下面物塊m₃間有相對滑動，則物塊m₁向右運動的速度大小至少應該為$\frac{μ{m}_{2}g（{m}_{2}+{m}_{3}）}{{m}_{3}}•\sqrt{\frac{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}}{k（{m}_{1}{m}_{2}+{m}_{1}{m}_{3}）}}$．

Answer 1

分析 壓縮彈簧的彈力比較小時，小物塊m₂與下面物塊m₃間沒有相對滑動，彈簧的彈力提供二者的加速度；而二者之間的摩擦力提供m₃的加速度，聯立牛頓第二定律即可求出二者恰好要相對滑動時的加速度；三個物體組成的系統在水平方向的動量守恒，當它們的速度相等時，彈簧最短，對兩側物體的彈力最大，由動量守恒定律即可求出共同速度；最后結合機械能守恒即可求出．

解答 解：二者恰好要相對滑動時小物塊m₂與下面物塊m₃之間的摩擦力提供m₃的加速度，則：m₃a=μm₂g
所以：a=$\frac{μ{m}_{2}g}{{m}_{3}}$
對小物塊m₂與下面物塊m₃組成的系統：F=（m₂+m₃）a
設m₁的初速度為v₀，三個物體組成的系統速度相等時共同速度為v，彈簧的壓縮量為x，彈簧的彈力為F，則：F=kx
三個物體組成的系統在水平方向的動量守恒，當它們的速度相等時，彈簧最短，對兩側物體的彈力最大，小球初速度的方向為正方向，由動量守恒定律得：
m₁v₀=（m₁+m₂+m₃）v
該過程中機械能守恒，得：$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}）{v}^{2}$$+\frac{1}{2}k{x}^{2}$
聯立解得：v₀=$\frac{μ{m}_{2}g（{m}_{2}+{m}_{3}）}{{m}_{3}}•\sqrt{\frac{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}}{k（{m}_{1}{m}_{2}+{m}_{1}{m}_{3}）}}$
即：為了使小物塊m₂與下面物塊m₃間有相對滑動，則物塊m₁向右運動的速度大小至少應該為$\frac{μ{m}_{2}g（{m}_{2}+{m}_{3}）}{{m}_{3}}•\sqrt{\frac{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}}{k（{m}_{1}{m}_{2}+{m}_{1}{m}_{3}）}}$．
故答案為：$\frac{μ{m}_{2}g（{m}_{2}+{m}_{3}）}{{m}_{3}}•\sqrt{\frac{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}}{k（{m}_{1}{m}_{2}+{m}_{1}{m}_{3}）}}$

點評 該題考查動量守恒與機械能守恒的應用，解得的關鍵是得出使小物塊m₂與下面物塊m₃間有相對滑動的條件是它們的速度相等時，彈簧最短時小物塊m₂與下面物塊m₃間恰好要滑動．