Question

6．如圖所示，一足夠長的光滑平行金屬軌道，其軌道平面與水平面成θ角，上端用一電阻R相連，處于方向垂直軌道平面向上的勻強磁場中．質量為m、電阻為r的金屬桿ab，從高為h處由靜止釋放，下滑一段時間后，金屬桿開始以速度v勻速運動直到軌道的底端．金屬桿始終保持與導軌垂直且接觸良好，軌道電阻及空氣阻力均可忽略不計，重力加速度為g．則（　　）

• A． 金屬桿加速運動過程中的平均速度大于$\frac{v}{2}$
• B． 金屬桿加速運動過程中克服安培力做功的功率小于勻速運動過程中克服安培力做功的功率
• C． 當金屬桿的速度為v/2時，它的加速度大小為$\frac{gsinθ}{2}$
• D． 整個運動過程中電阻R產生的焦耳熱為$mgh-\frac{1}{2}m{v^2}$

Answer 1

分析 加速運動過程中金屬桿克服培做的功等于$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，與速率v的平方成正比，小于勻速運動過程克服安培力功率；
根據安培力與速度的關系分析金屬桿的運動情況，在加速運動中加速度不斷減小，根據速度圖象分析可知，平均速度大于$\frac{1}{2}$v；整個回路中產的焦耳熱為mg-$\frac{1}{2}$mv²，大于電阻產生的焦耳熱．

解答 解：A、若金屬桿勻加速運動，則平均速度為$\frac{v}{2}$，實際上金屬桿加速運動中，加速度不斷減小，速度-時間圖象的斜率不斷減小，在相同間內金屬桿通過位移大于勻加速運動的位移，金屬桿平均速度大于勻加速運動的平均速度$\frac{1}{2}$v．故A正確．
B、金屬桿加速運動過程中，安培力平均值小于勻速運動的安培力，且加速運動的平均速度小于勻速直線的速度，因此金屬桿加速運動過程中，克服安培力做功的功率小于勻速運動過程中克服安培力做功的功率，故B正確；
C、根據勻速直線運動時，金屬桿速度大小為v，所受的安培力大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
此時依據平衡狀態，則有：mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$；
金屬桿的速度為$\frac{1}{2}$v時，它所受的安培力為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\frac{v}{2}}{R+r}$
據牛頓第二定律解得，mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\frac{v}{2}}{R+r}$=ma，聯立得：a=$\frac{gsinθ}{2}$，故C正確．
D、整個運過程中回路產生的焦耳熱為mgh-$\frac{1}{2}$mv²，所以R上產生的焦耳熱小于mgh-$\frac{1}{2}$mv²，故D錯誤．
故選：C．

點評 解決這類問題關鍵時分析受力情況安培力的表達式F_A=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，進一步確定運動性質，并明確判斷哪個階段及能量轉化，同時掌握牛頓第二定律的應用．