Question

25.如圖，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內。小球A、B質量分別為m、βm（β為待定系數）。A球從左邊與圓心等高處由靜止開始沿軌道下滑，與靜止于軌道最低點的B球相撞，碰撞后A、B球能達到的最大高度均為R，碰撞中無機械能損失。重力加速度為g。試求：

   

（1）待定系數β；

（2）第一次碰撞剛結束時小球A、B各自的速度和B球對軌道的壓力；

（3）小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結束時各自的速度，并討論小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結束時各自的速度。

Answer 1

（1）

（2）方向向左，方向向右；，方向豎直向下

（3）

當n為奇數時，小球A、B在第n次碰撞剛結束時的速度分別與其第一次碰撞剛結束時相同；

當n為偶數時，小球A、B在第n次碰撞剛結束時的速度分別與其第二次碰撞剛結束時相同；

 

解析:（1）由  mgR=  得

    β=3

（2）設A、B碰撞后的速度分別為v₁、v₂，則

    mv=

    βmv=

    設向右為正、向左為負，解得

    v₁= -，方向向左

    v₂=，方向向右

    設軌道對B球的支持力為N，B球對軌道的壓力為N′方向豎直向上為正、向下為負，

    則  N-βmg=βm

    N′= -N= -4.5 mg，方向豎直向下

（3）設A、B球第二次碰撞剛結束時的速度分別為V₁、V₂，則

   

    解得

    V₁= -，V₂=0

    （另一組解：V₁= -v₁，V₂= -v₂不合題意，舍去）

    由此可得：

    當n為奇數時，小球A、B在第n次碰撞剛結束時的速度分別與其第一次碰撞剛結束時相同；

    當n為偶數時，小球A、B在第n次碰撞剛結束時的速度分別與其第二次碰撞剛結束時相同。