Question

如圖，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內．小球A、B質量分別為m、3m．A球從左邊某高處由靜止釋放，并與靜止于軌道最低點的B球相撞，碰撞后A球被反向彈回，且A、B球能達到的最大高度均為

1

4

R．重力加速度為g．試求：
（1）碰撞剛結束時小球A、B各自的速度大小和B球對軌道的壓力大小；
（2）碰前A球的釋放點多高？
（3）通過計算說明，碰撞過程中，A、B球組成的系統有無機械能損失？若有損失，求出損失了多少？

Answer 1

分析：（1）由機械能守恒定律，得到碰撞后小球的速度大小，根據牛頓第二定律求解
（2）碰撞過程滿足動量守恒定律，列出等式，根據機械能守恒定律求解碰前A球的釋放點高度．
（3）找出碰前和碰后系統的機械能，進行判斷．

解答：解：（1）因 A、B球能達到的最大高度均為

1

4

R．
由機械能守恒定律，得到碰撞后小球的速度大小為：

1

2

mv2=

1

4

mgR，
v_A=v_B=

gR 2

，
設B球受到的支持力大小為N，根據牛頓第二定律：
N-mg=m

v 2 B

R

，
得N=

3

2

mg．
由牛頓第三定律，小球B對軌道的壓力大小為：N′=N=

3

2

mg．
（2）設A球碰前的速度方向為正方向，碰撞過程滿足動量守恒定律，
mv₀=-mv_A+3 mv_B，代入v_A與 v_B的值，有：v₀=

2gR

，
如果A球的釋放點高度為h，根據機械能守恒定律，mgh=

1

2

mv

2 0

，
解得：h=R．
（3）由前面解出的結果，碰前系統的機械能E₁=mgR，碰后系統的機械能為E₂=

1

4

mgR+

1

4

×3mgR=mgR，
故，E₁=E₂，無機械能損失．
答：（1）碰撞剛結束時小球A、B各自的速度大小是v_A=v_B=

gR 2

，B球對軌道的壓力大小是

3

2

mg；
（2）碰前A球的釋放點高度是R．
（3）碰撞過程中，A、B球組成的系統無機械能損失．

點評：本題主要考查了機械能守恒定律及動量守恒定律的應用，難度適中．