Question

3．如圖所示，相距為d的邊界水平的勻強磁場，磁感應強度垂直紙面向里、大小為B．質量為m、電阻為R、邊長為L的正方形線圈M，將線圈在磁場上方高h處由靜止釋放，已知cd邊剛進入磁場時和cd邊剛離開磁場時速度相等，不計空氣阻力，則（　　）

• A． 若L=d，則線圈穿過磁場的整個過程用時為2$\sqrt{\frac{2}{gh}d}$
• B． 在線圈穿過磁場的整個過程中，克服安培力做功為mgd
• C． 若L＜d，則線圈穿過磁場的整個過程中最小速度可能為$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
• D． 若L＜d，則線圈穿過磁場的整個過程中最小速度可能為$\sqrt{2g（h+L-d）}$

Answer 1

分析 線圈由靜止釋放，其下邊cd剛進入磁場和剛穿出磁場時刻的速度是相同的，根據功能關系分析產生的熱量，即可得到克服安培力做功．因為線圈全部進入磁場不受安培力，要做勻加速運動．可知線圈進入磁場先要做減速運動．根據動能定理、平衡條件等力學規律進行解答．

解答 解：A、線圈剛進入磁場時的速度大小 v=$\sqrt{2gh}$．若L=d，線圈將勻速通過磁場，所用時間為 t=$\frac{2d}{v}$=$\frac{2d}{\sqrt{2gh}}$=$\sqrt{\frac{2}{gh}d}$，故A錯誤．
B、根據能量守恒研究從cd邊剛進入磁場到cd邊剛穿出磁場的過程：動能變化為0，重力勢能轉化為線框產生的熱量，則進入磁場的過程中線圈產生的熱量 Q=mgd．
cd邊剛進入磁場時速度為v₀，cd邊剛離開磁場時速度也為v₀，所以從cd邊剛穿出磁場到ab邊離開磁場的過程，線框產生的熱量與從cd邊剛進入磁場到cd邊剛穿出磁場的過程產生的熱量相等，所以線圈從cd邊進入磁場到ab邊離開磁場的過程，產生的熱量Q′=2mgd，感應電流做的功為2mgd．故B錯誤．
C、若L＜d，線框可能先做減速運動，在完全進入磁場前做勻速運動，因為完全進入磁場時的速度最小，則 mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，則最小速度為 v=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．故C正確．
D、因為進磁場時要減速，即此時的安培力大于重力，速度減小，安培力也減小，當安培力減到等于重力時，線圈做勻速運動，全部進入磁場將做加速運動，設線圈的最小速度為v_m，知全部進入磁場的瞬間速度最小．由動能定理，從cd邊剛進入磁場到線框完全進入時，則有：$\frac{1}{2}$mv_m²-$\frac{1}{2}$mv₀²=mgL-mgd
又有$\frac{1}{2}$mv₀²=mgh，綜上所述，線圈的最小速度為 v_m=$\sqrt{2g（h+L-d）}$．故D正確．
故選：CD．

點評 解決本題的關鍵根據根據線圈下邊緣剛進入磁場和剛穿出磁場時刻的速度都是v₀，且全部進入磁場將做加速運動，判斷出線圈進磁場后先做變減速運動，也得出全部進磁場時的速度是穿越磁場過程中的最小速度．