Question

有一個放射源水平放射出A、B兩種粒子，垂直射入如圖所示磁場區域Ⅰ中．區域Ⅰ和Ⅱ的寬度均為d，長度足夠長，各自存在著垂直紙面的勻強磁場，兩區域的磁感強度大小B相等，方向相反（粒子運動不考慮相對論效應）．已知A粒子帶負電，電量為q、質量為m；B粒子帶正電，電量為2q、質量為4m．
（1）若要使A粒子能夠進入區域Ⅱ，求A粒子的初速度v₁的最小值；
（2）B粒子射出初速度大小，計算B粒子在區域Ⅰ和Ⅱ中運動的總時間；
（3）當v₁滿足第（1）小題所給值時，請求出速率在 v₁＞v＞v₁區間的B粒子離開區域Ⅱ時的區域寬度和方向．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使A粒子能夠進入區域Ⅱ，A粒子的速度要足夠大，當粒子的軌跡恰好與Ⅰ、Ⅱ邊界相切時，A粒子的初速度最小，此時粒子的軌跡半徑等于d，根據牛頓第二定律求解初速度．
（2）根據B粒子的速度大小，根據牛頓第二定律求出軌跡半徑，畫出軌跡，定出圓心角，根據周期與時間的關系，求出時間．
（3）根據牛頓第二定律分別求出速度為v₁和時軌跡的半徑，畫出軌跡，分別求出粒子兩種情況的側移y，再由幾何知識求出B粒子離開區域Ⅱ時的區域寬度．由于兩個磁場的磁感應強度大小相等，方向相反，粒子在兩個磁場中運動軌跡具有中心對稱性，則B粒子離開區域Ⅱ時方向都與磁場區域Ⅱ右邊界垂直．
解答：解：（1）作出臨界軌道，對A粒子剛好能夠進入區域Ⅱ時，初速度v₁的最小值
      由幾何關系知r₁=d，又   得
    （2）對B粒子
          得r₂=2d
       則sinα==，  
       故
    （3）畫出速率分別為v₁和v₂的粒子離開區域Ⅱ軌跡如下圖
        當v=v₁時，r₁=d，粒子向下側移y₁=d
        當v=v₁時，，粒子向下側移y₂=r′-=
        故B粒子離開區域Ⅱ時的區域
           方向都與磁場區域Ⅱ右邊界垂直 
答：（1）A粒子的初速度v₁的最小值．
    （2）B粒子在區域Ⅰ和Ⅱ中運動的總時間t_總=；
    （3）B粒子離開區域Ⅱ時的區域寬度為，方向都與磁場區域Ⅱ右邊界垂直．       

點評：本題關鍵是根據對稱性和幾何關系畫軌跡．這也是高考命題的趨向，基本知識和方法來源于書本，但大量應用數學知識分析和解決這類問題．