Question

有一個放射源水平放射出A、B兩種粒子，垂直射入如圖所示磁場區域Ⅰ中．區域Ⅰ和Ⅱ的寬度均為d，長度足夠長，各自存在著垂直紙面的勻強磁場，兩區域的磁感強度大小B相等，方向相反（粒子運動不考慮相對論效應）．已知A粒子帶負電，電量為q、質量為m；B粒子帶正電，電量為2q、質量為4m．
（1）若要使A粒子能夠進入區域Ⅱ，求A粒子的初速度v₁的最小值；
（2）B粒子射出初速度大小v2=

Bqd

m

，計算B粒子在區域Ⅰ和Ⅱ中運動的總時間；
（3）當v₁滿足第（1）小題所給值時，請求出速率在　

5

3

v₁＞v＞v₁區間的B粒子離開區域Ⅱ時的區域寬度和方向．

Answer 1

分析：（1）要使A粒子能夠進入區域Ⅱ，A粒子的速度要足夠大，當粒子的軌跡恰好與Ⅰ、Ⅱ邊界相切時，A粒子的初速度最小，此時粒子的軌跡半徑等于d，根據牛頓第二定律求解初速度．
（2）根據B粒子的速度大小，根據牛頓第二定律求出軌跡半徑，畫出軌跡，定出圓心角，根據周期與時間的關系，求出時間．
（3）根據牛頓第二定律分別求出速度為v₁和

5

3

v1時軌跡的半徑，畫出軌跡，分別求出粒子兩種情況的側移y，再由幾何知識求出B粒子離開區域Ⅱ時的區域寬度．由于兩個磁場的磁感應強度大小相等，方向相反，粒子在兩個磁場中運動軌跡具有中心對稱性，則B粒子離開區域Ⅱ時方向都與磁場區域Ⅱ右邊界垂直．

解答：解：（1）作出臨界軌道，對A粒子剛好能夠進入區域Ⅱ時，初速度v₁的最小值
      由幾何關系知r₁=d，又Bqv1=m

v 2 1

r1

   得　v1=

Bqd

m

    （2）對B粒子B2qv1=4m

v 2 2

r2

          得r₂=2d
       則sinα=

d

2d

=

1

2

，α=

π

6

   T=

2π4m

B2q

=

4πm

bq

       故t總=

1

6

T=

2πm

3Bq

    （3）畫出速率分別為v₁和v₂的粒子離開區域Ⅱ軌跡如下圖
        當v=v₁時，r₁=d，粒子向下側移y₁=d
        當v=

5

3

v₁時，

r

/ 1

=

m. 5 3 v1

Bq

=

5

3

d，粒子向下側移y₂=r′-

r ′ 2 1 -d2

=

d

3

        故B粒子離開區域Ⅱ時的區域△y=2y1-2y2=

4

3

d
           方向都與磁場區域Ⅱ右邊界垂直 
答：（1）A粒子的初速度v₁的最小值v1=

Bqd

m

．
    （2）B粒子在區域Ⅰ和Ⅱ中運動的總時間t_總=

2πm

3Bq

；
    （3）B粒子離開區域Ⅱ時的區域寬度為

4

3

d，方向都與磁場區域Ⅱ右邊界垂直．       

點評：本題關鍵是根據對稱性和幾何關系畫軌跡．這也是高考命題的趨向，基本知識和方法來源于書本，但大量應用數學知識分析和解決這類問題．