Question

19．如圖所示，兩條平行的金屬導軌相距L=1m，金屬導軌的傾斜部分與水平方向的夾角為37°，整個裝置處在豎直向下的勻強磁場中．金屬棒MN和PQ的質量均為m=0.2kg，電阻分別為R_MN=1Ω和R_PQ=2Ω．MN置于水平導軌上，與水平導軌間的動摩擦因數μ=0.5，PQ置于光滑的傾斜導軌上，兩根金屬棒均與導軌垂直且接觸良好．從t=0時刻起，MN棒在水平外力F₁的作用下由靜止開始以a=1m/s²的加速度向右做勻加速直線運動，PQ則在平行于斜面方向的力F₂作用下保持靜止狀態．t=3s時，PQ棒消耗的電功率為8W，不計導軌的電阻，水平導軌足夠長，MN始終在水平導軌上運動．求：
（1）磁感應強度B的大小；
（2）0～3s時間內通過MN棒的電荷量；
（3）若改變F₁的作用規律，使MN棒的運動速度v與位移x滿足關系：v=0.4x，PQ棒仍然靜止在傾斜軌道上．求MN棒從靜止開始到x=5m的過程中，系統產生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）MN向右運動切割磁感線產生感應電動勢，相當于電源，PQ相當于外電路．要求PQ消耗的功率，要先MN產生的感應電動勢，由歐姆定律求出電路中電流，即可求得磁感應強度．
（2）先由運動學位移公式求出t=3.0s時間內棒MN通過的位移，從而確定出穿過回路MNQP磁通量的變化量△φ，由法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電流的定義式推導出電量表達式q=$\frac{△φ}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$，即可求解通過PQ的電量．
（3）由題v=0.4s，速度v與位移s成正比，可知電流I、安培力也與位移s成正比，可安培力的平均值求解安培力做的功，再功能關系即可求出系統產生的焦耳熱．

解答 解：（1）當t=3 s時，設MN的速度為v₁，則
v₁=at=3 m/s
E₁=BLv₁
E₁=I（R_MN+R_PQ）
P=I²R_PQ
代入數據得：B=2 T．
（2）t=0～3.0s時間內金屬棒MN運動的位移為：
s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{3}^{2}$m=4.5m                                            
t=0～3.0s時間內穿過回路MNQP磁通量的變化量：
△φ=B₁Ls=2×1×4.5Wb=9 Wb                                     
t=0～3.0s時間內通過PQ棒的電荷量為：
q=$\overline{I}$•t=$\frac{\overline{E}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$•t=$\frac{△φ}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$=$\frac{9}{1+2}$C=3C 
（3）MN棒做變加速直線運動，當x=5 m時，v=0.4x=0.4×5 m/s=2 m/s
因為速度v與位移x成正比，所以電流I、安培力也與位移x成正比
安培力做功W_安=-$\frac{1}{2}$BL•$\frac{BLv}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$•x
代入數據得：W_安=-6.67 J
所以：Q=-W_安=6.67 J．
答：（1）磁感應強度B的大小是2T；
（2）0～3s時間內通過MN棒的電荷量是3C；
（3）MN棒從靜止開始到x=5m的過程中，系統產生的焦耳量是6.67J．

點評 本題是雙桿類型，分別研究它們的情況是基礎，運用力學和電路、電磁感應的規律研究MN棒，其中對于感應電荷量，要熟悉一般表達式q=$n\frac{△φ}{R+r}$，知道△φ與棒的位移有關．對于功，動能定理是常用的求解方法，本題關鍵要抓住安培力與位移是線性關系，安培力的平均值等于初末時刻的平均值．