Question

11．如圖所示，在一半徑為R，半圓形區域內（O為圓心，PQ邊為直徑）有垂直紙面向外的勻強磁場（圖中沒畫出），PQ上方是電場強度為E的勻強電場．現有一質量為m，電量為q的帶正電粒子從靜止開始勻強電場中的A點釋放，從O點垂直于AB進入磁場，已知OA的距離也為R，不計重力與空氣阻力的影響．
（1）求粒子經電場加速射入磁場時的速度；
（2）若要進入磁場的粒子不從圓弧邊界離開磁場，求磁感應強度B的最小值；
（3）若磁感應強度B′=$\frac{4\sqrt{2mqER}}{qR}$，求帶電粒子從靜止開始運動到達圓弧邊界的時間．

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求出粒子經電場加速射入磁場時的速度；
（2）磁感應強度最小時，圓周半徑最大，畫出粒子運動軌跡，根據洛倫茲力提供向心力求出磁感應強度的最小值；
（3）當磁感應強度為B′時，求出粒子在磁場中的半徑，畫出運動的軌跡，分別求出粒子在電場和磁場中的時間，即可求出帶電粒子從靜止開始運動到達圓弧邊界的時間

解答 解：（1）依題意，粒子經電場加速射入磁場時的速度為v，由動能定理得：$qER=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$①
得$v=\sqrt{\frac{2qER}{m}}$②
（2）要使圓周半徑最大，則粒子的圓周軌跡應與半圓磁場邊界相切，設軌跡圓周半徑為r

由圖中幾何關系：$r=\frac{R}{2}$③
由洛倫茲力提供向心力：
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$④
聯立②③④解得$B=\frac{2\sqrt{2mqER}}{qR}$
（3）設粒子運動圓周半徑為r′，$r′=\frac{mv}{qB′}=\frac{R}{4}$，粒子的圓周軌跡如下圖所示：

在電場中從A到O勻加速$R=\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$，得${t}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{2R}{a}}$
帶電粒子在電場中的運動時間${t}_{1}^{\;}=3\sqrt{\frac{2R}{a}}=3\sqrt{\frac{2mR}{qE}}$
帶電粒子在磁場中的運動時間${t}_{2}^{\;}=T=\frac{2πm}{qB′}=\frac{π}{4}\sqrt{\frac{2mR}{qE}}$
帶電粒子從靜止開始運動到達圓弧邊界的時間$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=（3+\frac{π}{4}）\sqrt{\frac{2mR}{qE}}$
答：（1）粒子經電場加速射入磁場時的速度$\sqrt{\frac{2qER}{m}}$；
（2）若要進入磁場的粒子不從圓弧邊界離開磁場，磁感應強度B的最小值$\frac{2\sqrt{2mqER}}{qR}$；
（3）若磁感應強度B′=$\frac{4\sqrt{2mqER}}{qR}$，帶電粒子從靜止開始運動到達圓弧邊界的時間$（3+\frac{π}{4}）\sqrt{\frac{2mR}{qE}}$．

點評 理帶電粒子在磁場中運動問題，關鍵作出粒子的運動軌跡，會確定圓周運動的圓心、半徑、圓心角，結合半徑公式、周期公式進行求解．