Question

18．有一實心立方體A，邊長為L，從內部去掉一部分物質，剩余部分質量為m，一立方體B恰能完全填充A的空心部分，質量也為m，如圖所示，即B的外表面與A的內表面恰好接觸．整體放在一個盛有密度為ρ的液體的容器里（容器無限大），剛開始，A漂浮在液面上，用外力使A向下產生位移b，平衡后由靜止釋放，A將要上下振動（水的摩擦阻力不計）．可以證明該振動為簡諧運動，振動過程中，A始終不離開液面，也不被液面埋沒，已知重力加速度g求：
（1）物體B的最大速率．
（2）在最高點和最低點A對B的作用力．

Answer 1

分析 （1）對整體受力分析，求得撤去外力后整體受到的合力特點，判斷出整體為等價后的彈簧振子，在平衡位置速度最大，即可求得；
（2）根據合力得在最低點和最高點的加速度，根據牛頓第二定律求作用力，

解答 解：（1）物體剛開始漂浮時F_浮=2mg
A向下產生位移b時，$F{′}_{浮}=2mg+ρg{L}^{2}b$
撤去外力瞬間，整體所受合力${F}_{合}=ρg{L}^{2}b$
由上分析可知，可以將以后整體的運動等價成勁度系數為k=ρgL²，振幅為b的彈簧振子的簡諧運動，物體B與整體速度一樣，根據彈簧振子的性質可知，整體回到平衡位置時速度最大，類似彈簧勢能全部轉化為動能$\frac{1}{2}•2m{v}^{2}=\frac{1}{2}ρg{L}^{2}^{2}$
解得$v=Lb\sqrt{\frac{ρg}{2m}}$
（2）整體在最低點時，所受合外力${F}_{合}=ρg{L}^{2}b$
有牛頓第二定律可知整體的加速度a=$\frac{ρg{L}^{2}b}{2m}$
對B受力分析B受A向上的力F₁
F₁-mg=ma
解得${F}_{1}=mg+ma=mg+\frac{ρg{L}^{2}b}{2}$，方向向上
有對稱性可知，在最高點B的加速度依然為a，方向向下，受A向上的作用力為F₂
mg-F₂=ma
解得${F}_{2}=mg-ma=mg-\frac{ρg{L}^{2}b}{2}$，方向向上
答：（1）物體B的最大速率為$Lb\sqrt{\frac{ρg}{2m}}$．
（2）在最高點和最低點A對B的作用力分別為$mg-\frac{ρg{L}^{2}}{2}$和$mg+\frac{ρg{L}^{2}b}{2}$．

點評 本題主要考查了等效后的彈簧振子的速度最大值和作用力，關鍵是先整體把握，判斷出兩物體做的是勁度系數為k=ρgL²，振幅為b的彈簧振子的簡諧運動