Question

13．如圖所示，將一光滑圓軌道固定豎直放置，其中A點(diǎn)為圓軌道的最低點(diǎn)，B點(diǎn)為圓水平直徑與圓弧的交點(diǎn)．一個質(zhì)量為m的物體靜置于A點(diǎn)，現(xiàn)用始終沿軌道切線方向、大小不變的外力F作用于物體上，使其沿圓軌道到達(dá)B點(diǎn)，隨即撤去外力F，要使物體能在豎直圓軌道內(nèi)維持圓周運(yùn)動，外力F至少為（　　）

• A． $\frac{2mg}{π}$
• B． $\frac{3mg}{π}$
• C． $\frac{4mg}{π}$
• D． $\frac{5mg}{π}$

Answer 1

分析 物體恰好過最高點(diǎn)，知軌道支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出小球在最高點(diǎn)的速度，從A到B運(yùn)用動能定理求解B點(diǎn)的速度，撤去F后，由B到最高點(diǎn)機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒列式，聯(lián)立即可求解F；

解答 解：物體由A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的過程中，由動能定理可得W_F-mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²①；
因F是變力，對物體的運(yùn)動過程分割，將$\widehat{AB}$劃分成許多小段，則當(dāng)各小段弧長△s足夠小時，在每一小段上，力F可看做恒力，且其方向與該小段上物體位移方向一致，有W_F=F△s₁+F△s₂+…+F△s_i+…=F（△s₁+△s₂+…+△s_i+…）=F•$\frac{π}{2}$R②；
從B點(diǎn)起撤去外力F，物體的運(yùn)動遵循機(jī)械能守恒定律，由于在最高點(diǎn)維持圓周運(yùn)動的條件是mg≤m$\frac{v2}{R}$，即在圓軌道最高點(diǎn)處速度至少為$\sqrt{Rg}$．
故由機(jī)械能守恒定律得$\frac{1}{2}$mv_B²=mgR+$\frac{1}{2}m（\sqrt{Rg}）_{\;}^{2}$③；
聯(lián)立①②③式得F=$\frac{5mg}{π}$．故D正確，ABC錯誤；
故選：D

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握“繩模型”在最高點(diǎn)的臨界情況，結(jié)合牛頓第二定律和動能定理進(jìn)行求解．