Question

20．圖為某游樂場內水上滑梯軌道示意圖，整個軌道在同一豎直平面內，表面粗糙的AB段軌道與四分之一光滑圓弧軌道BC在B點水平相切．圓弧軌道BC的半徑為R，點A距水面的高度為H=4R，圓心O恰在水面．一質量為m的游客（視為質點）可從軌道AB的任意位置滑下，不計空氣阻力．
（1）若游客從A點由靜止開始滑下，到B點時沿切線方向滑離軌道落在水面上的D點，OD=3R，求游客滑到B點時的速度v_B大小及運動過程克服軌道摩擦力所做的功W_f；
（2）若游客從AB段某處滑下，恰好停在B點，又因受到微小擾動，繼續沿圓弧軌道滑到P點后滑離軌道，求P點離水面的高度h．（提示：在圓周運動過程中任一點，質點所受的向心力與其速率的關系為F_向=m$\frac{{v}^{2}}{R}$）

Answer 1

分析 （1）游客從B點開始做平拋運動，將運動分解，即可求出游客到達B的速度，A到B的過程中由動能定理即可求出運動過程軌道摩擦力對其所做的功W_f；
（2）設OP與OB最近的夾角是θ，在P點離開軌道時，軌道對游客的支持力是0，由重力指向圓心的分力提供向心力，結合機械能守恒與向心力的表達式即可求解．

解答 解：（1）游客從B到D做平拋運動，水平方向上：3R=v_Bt       ①
豎直方向上：R=$\frac{1}{2}$gt²      ②
由①②解得：v_B=$\sqrt{\frac{9}{2}gR}$
從A到B由動能定理得：mg（H-R）-W_f=$\frac{1}{2}$mv_B²      ③
解得：W_f=$\frac{3}{4}$mgR
（2）設OP與OB間夾角為θ，從B到P由動能定理得：mg（R-Rcosθ）=$\frac{1}{2}$mv_P² ④
P點時由向心力公式得：mgcosθ-N=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$               ⑤
P點時離開軌道，則有N=0  ⑥且有  cosθ=$\frac{h}{R}$  ⑦
由④⑤⑥⑦解得：h=$\frac{2R}{3}$
答：（1）游客滑到的速度v_B大小是$\sqrt{\frac{9}{2}gR}$，運動過程軌道摩擦力對其所做的功是$\frac{3}{4}$mgR；
（2）P點離水面的高度是$\frac{2R}{3}$．

點評 該題中正確判斷出游客在P點離開軌道時，軌道對游客的支持力是0，由重力指向圓心的分力提供向心力是解題的關鍵．