Question

18．如圖是課外活動小組為某倉庫設計的一個皮帶傳輸裝置示意圖，它由兩臺皮帶傳送機組成，一臺水平傳送，A、B兩端相距3m，另一臺傾斜，傳送帶與地面的傾角θ=37°，C、D兩端相距4.45m，B、C相距很近，水平部分AB以5m/s的速率順時針轉動，將一工件輕放在A端，到達B端后，速度大小不變地傳到傾斜的CD部分，工件與傳送帶間的動摩擦因數均為0.5，其最大靜摩擦力認為等于滑動摩擦力（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²）．
（1）求工件被傳送到B點的速度大小及從A到B所用的時間；
（2）若CD部分傳送帶不運轉，求工件沿傳送帶所能上升的最大距離；
（3）若要工件能被傳送到D端，求CD部分順時針轉動的速度大小應滿足的條件及工件從C端到D端所用時間的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）工件放上傳送帶先做勻加速直線運動，求出工件達到傳送帶速度所需的時間和位移，判斷工件在整個過程中的運動，從而根據運動學規律求出工件沿傳送帶從A運動到B的時間．
（2）由牛頓第二定律可求得工件的加速度，因工件的最大速度只能為5m/s，則應判斷工件到達B點時是否已達最大速度，若沒達到，則由位移與速度的關系可求得B點速度，若達到，則以5m/s的速度沖上CD；在CD面上由牛頓第二定律可求得工件的加速度，則由位移和速度的關系可求得上升的最大距離；
（3）工件在CD上應做減速運動，若CD的速度較小，則工件的先減速到速度等于CD的速度，然后可能減小到零，此為最長時間；而若傳送帶的速度較大，則工件應一直減速，則可求得最短時間；

解答 解：（1）工件在傳送帶AB上，與之有相對滑動時μmg=ma₁
a₁=μg=0.5×10m/s²=5m/s²
達到共同速度所需時間為t₁
v₀=a₁t₁  
  t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}=\frac{5}{5}$s=1s   
在1s內通過的位移為${s}_{1}=\frac{0+5}{2}×1m=2.5m$
故工件在AB傳送帶上先勻加速直線運動后做勻速直線運動速度v=v₀=5m/s，勻速運動所需時間為．
${t}_{2}=\frac{{L}_{1}-{s}_{1}}{{v}_{0}}=\frac{3-2.5}{5}s=0.1s$
工件沿傳送帶從A運動到B的時間為
t=t₁+t₂=1s+0.1s=1.1s
（2）設工件在CD上運動的加速度大小為a，由牛頓第二定律得mgsinθ+μmgcosθ=ma
代入數據得  a₂=10 m/s²
所以能滑上的最大距離 s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{2}}$═1.25m
（3）設CD部分運轉速度為v₁時工件恰能到達D點（即工件到達D點時速度恰好為零），則工件速度減為v₁之前的加速度為a₃=-g（sinθ+μcosθ）=-10 m/s²
工件速度小于v₁至減為零前的加速度為a₄=-g（sinθ-μcosθ）=-2 m/s²
由$\frac{{v}_{1}^{2}{-v}_{0}^{2}}{2{a}_{3}}+\frac{0{-v}_{1}^{2}}{2{a}_{4}}=4.45$
代入數據，解得 v₁=4m/s，即要把工件送到D點，CD部分的速度v_CD≥v₁=4m/s
工件恰能運到D點所用時間最長為t_max=$\frac{{v}_{1}-{v}_{0}}{{a}_{3}}+\frac{0-{v}_{1}}{{a}_{4}}=\frac{4-5}{-10}+\frac{0-4}{-2}s=2.1s$
若CD部分傳送帶的速度較大，使工件沿CD上滑時所受摩擦力一直沿皮帶向上，
則所用時間最短，此種情況工件加速度一直為a₄．
由S_CD=v₀t_min+$\frac{1}{2}$a₄t²_min，
代入數據得：t_min=1.16s
所以，所求的時間t的范圍為  1.16 s≤t≤2.1 s；
答：（1）工件被傳送到B點的速度大小為5m/s，從A到B所用的時間為1.1s；
（2）若CD 部分傳送帶不運轉，工件沿傳送帶所能上升的最大距離為1.25m．
（3）若要工件能被送到D 端，CD 部分順時針運轉的速度應滿足大于等于4m/s，工件從C 端到D 端所用時間的取值范圍為1.16 s≤t≤2.1 s．

點評 本題難點在于通過分析題意找出臨條界件，注意工件在CD段所可能做的運動情況，從而分析得出題目中的臨界值為到達D點時速度恰好為零；本題的難度較大．