Question

6．如圖所示，一質量3m的小車靜止在光滑的水平面上，小車AB段是半徑為R的四分之一光滑圓弧軌道，BC段是長為l的粗糙水平軌道，兩段軌道相切于B點，水平軌道離地的高度為h，一質量為m的滑塊在小車上從A點由靜止開始沿軌道滑下，已知滑塊與水平軌道間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，
（1）若固定小車，求滑塊脫離水平軌道后落地時水平軌道末端的水平距離x
（2）若不固定小車，滑塊在小車上運動時，滑塊相對地面速度的水平分量始終是小車速度大小的3倍，求滑塊脫離水平軌道后落地時距水平軌道末端的水平距離x′．

Answer 1

分析 （1）滑塊從A到B過程中根據動能定理求的到達B點的速度，從B到C由動能定理求的C點的速度，根據平拋運動求的水平位移
（2）從A到C的過程中根據能量守恒求的AB的速度，根據平拋運動的特點求的水平位移

解答 解：（1）固定銷車，從A到B根據動能定理可得
$mgR=\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}-0$
在水平軌道上由動能定理可得$-μmgl=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$
從C點做平拋運動，h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v_Ct
聯立解得x=$2\sqrt{h（R-μl）}$
（2）不固定小車，設滑塊到C處時小車的速度為v，滑塊的速度為3v，根據能量守恒由
$mgR=\frac{1}{2}m（3v）^{2}+\frac{1}{2}•3m{v}^{2}+μmgl$
從C點做平拋運動，h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x′=（v+3v）t
聯立解得$x′=4\sqrt{\frac{（R-μl）h}{3}}$
答：（1）若固定小車，滑塊脫離水平軌道后落地時水平軌道末端的水平距離x為$2\sqrt{h（R-μl）}$
（2）滑塊脫離水平軌道后落地時距水平軌道末端的水平距離x′為$4\sqrt{\frac{（R-μl）h}{3}}$．

點評 主要考查動能定理和能量守恒的問題，求解兩物體間的相對位移，根據平拋運動的特點求解，特別在第二問中抓住相對速度求解即可