Question

11．如圖所示是螺旋形翻滾過山軌道，一質量為100kg的小車從高14m處由靜止滑下，當它通過半徑R為4m的豎直圓軌道最高點A時，對軌道的壓力恰等于車重的1.5倍，問小車離地面11m高處滑下，能否安全通過A點？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 小車在軌道上運動的過程中，除重力做功外，各種阻力也做功，先根據牛頓第二定律求出小車在通過A點的速度，然后求出要使小球能夠通過圓軌道最高點，那么小球在最高點時應該是恰好是物體的重力作為物體的向心力，由向心力的公式可以求得此時的最小的速度，再由機械能守恒可以求得離地面的高度h．

解答 解：設小車經過A點的速率為v_A，此時小車在豎直方向受到重力和軌道壓力N的作用，且N=1.5mg，由牛頓第二定律，得
 $N+mg=\frac{m{{v}_{A}}^{2}}{R}$）
設小車從B點運動到A點克服各種阻力所做的功為W，由動能定律得
mg（h-2R）-W=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$ 
解得W=mg（h-2R）-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入數據得：W=1000J    
若保證小車安全通過豎直面圓軌道，小車通過A點的最小速度為，則有
mg=$\frac{mv{′}_{A}^{2}}{R}$，得：$v{′}_{A}=\sqrt{Rg}$
由于小車下滑高度減小，通過軌道上各點時的速度減小，所需向心加速度減小，對軌道的壓力減小，軌道對小車的摩擦及空氣阻力都減小，因此，克服阻力所做的功減小，即
Wˊ＜W=1000J
設小車開始下滑的高度為hˊ，則
mg（hˊ-2R）-W ˊ=$\frac{1}{2}mv{′}_{A}^{2}-0=\frac{1}{2}mgR$
整理得：hˊ=$\frac{W′}{mg}+\frac{R}{2}+2R$
代入數據得：h′=11m
所以，小車從離地面11m高處下滑能安全通過A點． 
答：小車離地面11m高處滑下，能安全通過A點．

點評 本題屬于圓周運動中繩的模型，在最高點時應該是重力恰好做為圓周運動的向心力，對于圓周運動中的兩種模型一定要牢牢的掌握住．