Question

宇宙中存在著質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成韻四星系統（忽略其他星體對它們的引力作用）．設四顆星穩定地分布在邊長為a的正方形的四令頂點上且它們均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，星體運動周期為T，每個星體表面的重力加速度為g，引力常量為G，試求：
（1）星體做勻速圓周運動的軌道半徑；
（2）每個星體的半徑和質量．

Answer 1

分析：（1）圓心為正方向中心，故半徑為

2

2

a；
（2）根據星球表面重力等于萬有引力列式，再根據其他三個星體對第四個星體萬有引力的合力提供其運動所需的向心力列式，最后聯立求解即可．

解答：解：（1）星體均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，可得到：
星體做勻速圓周運動的軌道半徑r=

2

2

a①
（2）由萬有引力的定律可知G

m m′

R2

=m′ g②
其他三個星體對第四個星體萬有引力的合力提供其運動所需的向心力，可得G

m2

( 2  a)2

+2G

m2

a2

cos45°=m?

2

2

a?

4π2

T2

③
解得：m=

4 2

1+2 2

?

π2a3

GT2

R=

2πa

T

2 1+2 2  ?  a g

④
答：（1）星體做勻速圓周運動的軌道半徑為

2

2

a；
（2）每個星體的半徑為

2πa

T

2 1+2 2  ?  a g

，質量為

4 2

1+2 2

?

π2a3

GT2

．

點評：本題關鍵是明確星球轉動的向心力來源，然后根據萬有引力定律、向心力公式和牛頓第二定律列式后聯立求解．