Question

7．一賽艇停在平靜的水面上，賽艇前端有一標記P離水面的高度為h₁=0.6m，尾部下端Q略高于水面；賽艇正前方離賽艇前端s₁=0.8m處有一浮標，示意如圖．一潛水員在浮標前方s₂=3.0m 處下潛到深度為h₂=4.0m 時，看到標記剛好被浮標擋住，此處看不到船尾端 Q；繼續下△h=4.0m，恰好能看見Q．求：
（i）水的折射率n；
（ii）賽艇的長度l．（可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）由題意可作出光路圖，由幾何關系可知入射角和折射角，則可求得折射率；
（2）由題意可知潛水員和Q點的連線與豎直方向夾角剛好為臨界角，由幾何知識可解得賽艇的長度．

解答 解：（1）設過P點光線，恰好被浮子擋住時，入射角、折射角分別為α、β，則：
  sinα=$\frac{{s}_{1}}{\sqrt{{s}_{1}^{2}+{h}_{1}^{2}}}$ ①
  sinβ=$\frac{{s}_{2}}{\sqrt{{s}_{2}^{2}+{h}_{2}^{2}}}$ ②
則水的折射率為 n=$\frac{sinα}{sinβ}$ ③
由①②③聯立，代入數據解得：n=$\frac{4}{3}$
（ ii）潛水員和Q點連線與豎直方向的夾角剛好為臨界角C，則：sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{3}{4}$④
則得 cotC=$\frac{cosC}{sinC}$=$\sqrt{\frac{1-si{n}^{2}C}{sinC}}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$
 又由幾何知識解得：cotC=$\frac{{h}_{2}+△h}{{s}_{1}+{s}_{2}+l}$  ⑤
由④⑤得：l=（$\frac{24}{7}\sqrt{7}$-3.8）m
答：（1）水的折射率n是$\frac{4}{3}$；
（2）賽艇的長度1為（$\frac{24}{7}\sqrt{7}$-3.8）m．

點評 本題以光的直線傳播為基礎，利用幾何知識，研究光傳播到兩種介質的界面時發生的反射、折射、全反射、色散等現象和它們表現的規律，即光的反射和折射定律，難點是光的全反射及其應用．