Question

19．宇宙間存在一些離其它恒星較遠的三星系統，其中有一種三星系統如圖所示，三顆質量均為m的星位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為L，忽略其它星體對它們的引力作用，三顆星在同一平面內繞三角形中心O做勻速圓周運動，萬有引力常量為G，下列說法正確的是．

• A． 每顆星做圓周運動的角速度為$\sqrt{\frac{3Gm}{{L}^{3}}}$
• B． 每顆星做圓周運動的加速度與三星的質量有關
• C． 若距離L和每顆星的質量m都變為原來的2倍，則周期變為原來的2倍
• D． 若距離L和每顆星的質量m都變為原來的2倍，則線速度變為原來的4倍

Answer 1

分析 先寫出任意兩個星星之間的萬有引力，求每一顆星星受到的合力，該合力提供它們的向心力．
然后用R表達出它們的軌道半徑，最后寫出用周期和線速度表達的向心力的公式，整理即可的出結果．

解答 解：A、任意兩個星星之間的萬有引力F=$\frac{Gmm}{{L}^{2}}$每一顆星星受到的合力，F₁=$\sqrt{3}$F，由幾何關系知：它們的軌道半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L…①
合力提供它們的向心力：$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…②
聯立①②，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{L}}$，故A錯誤．
B、任意兩個星星之間的萬有引力F=$\frac{Gmm}{{L}^{2}}$每一顆星星受到的合力就是其向心力，F₁=$\sqrt{3}$F，由牛頓第二定律可知可知，a=$\frac{F}{m}$=$\frac{\sqrt{3}Gm}{{R}^{2}}$向心加速度與質量有關，故B正確；
C、由$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$解得：T=$\frac{2}{3}π\sqrt{\frac{3{L}^{2}}{Gm}}$，若距離L和每顆星的質量m都變為原來的2倍，則周期變為原來的2倍；故C正確；
D、由A可知v=$\sqrt{\frac{GM}{L}}$，則可知，L和每顆星的質量m都變為原來的2倍，則線速度不變，故D錯誤．
故選：BC．

點評 解決該題首先要理解模型所提供的情景，然后能夠列出合力提供向心力的公式，根據公式進行分析才能明確各物理量發生變化時周期和線速度等的變化情況．