Question

2．如圖所示，已知傾角為θ=45°、高為h的斜面固定在水平地面上．一小球從高為H（h＜H＜$\frac{5}{4}$h）處自由下落，與斜面做無能量損失的碰撞后水平拋出，小球自由下落的落點距斜面左側的水平距離x滿足一定條件時，小球能直接落到水平地面上，下列說法正確的是（　　）

• A． 小球落到地面上的速度大小為$\sqrt{2gH}$
• B． x應滿足的條件是H-h＜x＜h
• C． x應滿足的條件是h-0.8H＜x＜h
• D． x取不同值時，小球在空中運動的時間不變

Answer 1

分析 由于小球與斜面碰撞無能量損失，自由下落和平拋運動機械能也守恒，所以小球整個運動過程中機械能守恒，據此列式求解小球落到地面上的速度大小；小球與斜面碰撞后做平拋運動，當正好落在斜面底端時，x最小，根據平拋運動的基本公式結合幾何關系、動能定理求出x的最小值，而x的最大值即為h，從而求出x的范圍；

解答 解：A、設小球落到地面的速度為v，根據機械能守恒定律$mgH=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$，得$v=\sqrt{2gH}$，故A正確；
BC、小球做自由落體運動的末速度為${v}_{0}^{\;}=\sqrt{2g（H-h+x）}$，小球做平拋運動的時間為$t=\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$
水平位移$s={v}_{0}^{\;}t=\sqrt{2g（H-h+x）}•\sqrt{\frac{2（H-x）}{g}}$=$2\sqrt{（H-h+x）（H-x）}$
由s＞h-x，解得h-0.8H＜x＜h，故B錯誤，C正確；
D、自由下落的時間${t}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{2（H-h+x）}{g}}$，平拋的時間${t}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$，在空中的總時間$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{2（H-h+x）}{g}}+\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$，x取不同的值小球在空中的時間不同，故D錯誤；
故選：AC

點評 本題是機械能守恒與自由落體運動、平拋運動的綜合，既要把握每個過程的物理規律，更要抓住它們之間的聯系，比如幾何關系，運用數學上函數法求解極值．