Question

8．如圖所示，一傾角a=37°、長度為9m的固定斜面，其底端與長木板B上表面等高．原來B靜止在粗糙水平地面上，左端與斜面接觸但不粘連，斜面底端與木板B的上表面接觸處圓滑．一可視為質點的小滑塊A從斜面頂端處由靜止開始下滑，最終A剛好未從木板B上滑下．已知A、B的質量相等，木板B的長度L=3m，A與斜面、B上表面間的動摩擦因數均為μ₁=0.5，B與地面的動摩擦因數為μ₂，重力加速度g取10m/s²．
（1）通過計算分析當A滑上B的上表面后，B是否仍保持靜止；
（2）若B仍然靜止，求出μ₂的最小值；若B滑動，求出μ₂的值．

Answer 1

分析 （1）假設A滑上B的上表面后，B仍保持靜止，結合受力分析，由牛頓第二定律即可求出A的加速度，由運動學公式求出A的位移，然后與B的長度比較判斷是否會滑落；
（2）由牛頓第二定律求出二者的加速度，然后由牛頓第二定律即可求出．

解答 解：（1）設A物塊從斜面下滑過程中加速度大小為a₀，到達底端時速度大小為v₀，由牛頓第二定律和運動學公式得：
mgsinα-μ₁mgcosα=ma_o              �、�
v₀²-0=2a_os                          ②
由①②得：v₀=6m/s
假設A滑上B的上表面后，B仍保持靜止，則A在B上減速滑動至停止．
a_A=μ₁g=5m/s²　③
聯立得：$x=\frac{0-{v}_{0}^{2}}{-2{a}_{A}}$=$\frac{0-{6}^{2}}{-2×5}$=3.6m＞3m　　　　　　      �、�
A會從B上滑下，假設不成立．
故當A滑上B的上表面后，B與地面會發生相對滑動．　
（2）設A滑上B后，再經時間t兩者達到共同速度，
A、B的加速度大小分別為：
a_A=μ₁g=5m/s²
${a}_{B}=\frac{{μ}_{1}mg-2{μ}_{2}mg}{m}=5-20{μ}_{2}$　　　�、�
又：v₀-a_At=a_Bt　 　　　　　　　　　　  ⑥
${s}_{A}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{A}{t}^{2}$　　　　　　　　　　   ⑦
${s}_{B}=\frac{1}{2}{a}_{B}{t}^{2}$  　　　　　　　　　　　　   ⑧
S_A-S_B=L　　　　　　　　　　　　　　   ⑨
聯立解得：μ₂=0.2 
答：（1）當A滑上B的上表面后，B不能仍保持靜止；
（2）出μ₂的值為0.2．

點評 該題屬于多物體多過程應用牛頓第二定律的情況，在解答的過程中要注意對研究對象和運動過程的把握．