Question

20．地面上有一半徑為R、深度為h的圓筒形豎井．如圖所示，一小球在地面上以水平速度v沿著與井口半徑成θ角的方向運動并落入井中．小球與井壁及井底的碰撞均為彈性碰撞，且無摩擦．設小球與井壁碰撞次數為m，與井底碰撞次數為n后，恰能夠回到地面上運動，求小球的運動速度v的表達式．

Answer 1

分析 根據運動的合成與分解法則，將運動分解成水平方向與豎直方向，并利用運動學公式，結合時間相同，即可求解．

解答 解：由題意可知，水平速度運動的時間，與小球垂直方向運動的時間是相等的．小球與井壁及井底的碰撞均為彈性碰撞，且無摩擦，所以小球水平速度不會變，豎直方向的加速度為：g，且下降時初速為0，上升時末速為0．
由：小球與井壁碰撞次數為m，
則：小球水平運動的總路程為：2（m+1）Rcosθ （也就是弦長的m+1倍），
所用時間：t=$\frac{2（m+1）Rcosθ}{v}$…（1）
由：小球與井底碰撞次數為n，
則：小球豎直方向每次上升和下降的時間之和都為：2$\sqrt{\frac{2h}{g}}$（碰撞小球下降和上升各一次），
所用總時間：t=2n$\sqrt{\frac{2h}{g}}$…（2）
綜合（1）、（2）式，可得：v=$\frac{m+1}{n}$ Rcosθ$\sqrt{\frac{g}{2h}}$．
答：小球的運動速度v的表達式v=$\frac{m+1}{n}$ Rcosθ$\sqrt{\frac{g}{2h}}$．

點評 考查運動的合成與分解的應用，掌握運動學公式的內容，注意分運動與合運動的等時性，及運算的正確性．