Question

17．如圖所示，一質量為M=2kg的木板B靜止在光滑的水平面上，其左端上表面緊靠（不相連）一固定斜面軌道的底端，軌道與水平面的夾角θ=37°，一質量為m=2kg的物塊A（可看作質點）由斜面軌道上距軌道底端5m處靜止釋放，物塊A從斜面底端運動到木板B左端時速度大小不變，物塊A剛好沒有從木板B的右端滑出，已知物塊A與斜面軌道間的動摩擦因數為μ₁=$\frac{7}{16}$，與木板B上表面間的動摩擦因數為μ₂=0.25，（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²）求：
（1）物塊A剛滑上木板B時的速度大��；
（2）物塊A從剛滑上木板B相對木板B靜止所用的時間；
（3）木板B的長度．

Answer 1

分析 （1）對物體受力分析，物體做的是勻變速直線運動，由速度位移的關系式可以求得末速度；
（2）物塊A剛好沒有從木板B左端滑出，說明此時它們的速度相等，由速度位移公式可以求運行的時間；
（3）由勻變速規律可得AB的位移，兩者位移之差為木板長度．

解答 解：（1）沿斜面下滑的加速度為a，根據牛頓第二定律則有：
mgsinθ-μmgcosθ=ma，
解得：a=2.5m/s²．
由v²=2ax 得物塊A剛滑上木板B時的速度：
v=$\sqrt{2ax}$=$\sqrt{2×2.5×5}$m/s=5m/s，
（2）物塊A在B上滑動時，由牛頓第二定律得，
-μ₂mg=ma₁，
解得：a₁=-2.5m/s²，
則木板B的加速度大�。�
a₂=$\frac{{μ}_{2}mg}{M}$=$\frac{0.25×2×10}{2}$m/s²=2.5m/s²，
物塊A剛好沒有從木板B左端滑出，
即：物塊A在木板B左端時兩者速度相等；
設物塊A在木板B上滑行的時間t，速度關系：
v+a₁t=a₂t，
代入數據可解得：t=1s．
（3）物塊A相對于地面的位移：x_A=vt+$\frac{1}{2}$a₁t² …①
木板B相對于地面的位移：x_B=$\frac{1}{2}$a₂t² …②
木板B的長度：L=x_A-x_B …③
聯立①②③可解得：L=2.5m
答：（1）（1）物塊A剛滑上木板B時的速度大小為5m/s；
（2）物塊A從剛滑上木板B相對木板B靜止所用的時間為1s；
（3）木板B的長度為2.5m．

點評 本題充分考查了勻變速直線運動規律的應用及物體共同運動的特點的應用，熟練運用牛頓第二定律和運動學相關公式即可正確解題，難度不大．