Question

雨滴在穿過云層的過程中，不斷與漂浮在云層中的小水珠相遇并結(jié)合為一體，其質(zhì)量逐漸增大．現(xiàn)將上述過程簡(jiǎn)化為沿豎直方向的一系列碰撞．已知雨滴的初始質(zhì)量為m₀，初速度為v₀，下降距離l后與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量變?yōu)閙₁．此后每經(jīng)過同樣的距離l后，雨滴均與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量依次變?yōu)閙₂、m₃…m_n…（設(shè)各質(zhì)量為已知量）．不計(jì)空氣阻力．
（1）若不計(jì)重力，求第n次碰撞后雨滴的速度v_n′；
（2）若考慮重力的影響，求第1次碰撞前、后雨滴的速度v₁和v₁′．

Answer 1

分析：（1）雨滴的初始質(zhì)量為m₀，初速度為v₀，下降距離L后與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量變?yōu)閙₁，此過程如果不計(jì)重力的影響則動(dòng)量守恒，列出動(dòng)量守恒的方程可求n次碰撞后雨滴的速度．
（2）考慮重力的影響，雨滴下落過程中做加速度為g的勻加速運(yùn)動(dòng)，但是碰撞瞬間動(dòng)量仍然守恒，則碰撞前在位移為L(zhǎng)的過程中勻加速直線運(yùn)動(dòng)，碰撞后的速度由碰撞瞬間動(dòng)量守恒求得；

解答：解：（1）不計(jì)重力，全過程動(dòng)量守恒，
     m₀v₀=m_nv′_n
解得：v′n=

m0

mn

v₀
（2）考慮重力的影響，雨滴下落過程中做加速度為g的勻加速運(yùn)動(dòng)，碰撞瞬間動(dòng)量守恒，
  第一次碰撞前 v₁²=v₀²+2gl，v₁=

v02+2gl

  第一次碰撞后 m₀v₁=m₁V₁′
  Vn′=

m0

mn

v₁=

m0

mn

v02+2gl

答：（1）若不計(jì)重力，第n次碰撞后雨滴的速度v_n′為

m0

mn

v₀；
（2）若考慮重力的影響，第1次碰撞前速度為

v02+2gl

，碰撞后雨滴的速度為

m0

mn

v02+2gl

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)量守恒定律的直接應(yīng)用，難度適中．