Question

雨滴在穿過云層的過程中，不斷與漂浮在云層中的小水珠相遇并結合為一體，其質量逐漸增大．現將上述過程簡化為沿豎直方向的一系列碰撞．已知雨滴的初始質量為m₀，初速度為v₀，下降距離l后與靜止的小水珠碰撞且合并，質量變為m₁．此后每經過同樣的距離l后，雨滴均與靜止的小水珠碰撞且合并，質量依次變為m₂、m₃…m_n…（設各質量為已知量）．不計空氣阻力．
（1）若不計重力，求第n次碰撞后雨滴的速度v_n；
（2）若考慮重力的影響，a．求第1次碰撞前、后雨滴的速度v₁和v_n′；b．求第n次碰撞后雨滴的動能

1

2

mnv

′

2 n

．

Answer 1

分析：（1）雨滴的初始質量為m₀，初速度為v₀，下降距離L后與靜止的小水珠碰撞且合并，質量變為m₁，此過程如果不計重力的影響則動量守恒，列出動量守恒的方程可求n次碰撞后雨滴的速度．
（2）a、考慮重力的影響，雨滴下落過程中做加速度為g的勻加速運動，但是碰撞瞬間動量仍然守恒，則碰撞前在位移為L的過程中勻加速直線運動，碰撞后的速度由碰撞瞬間動量守恒求得；
b、由前兩次過程計算碰后的速度，歸納總結出通項式，表示出n次碰撞后速度，動能可求．

解答：解：（1）不計重力，全過程動量守恒，
     m₀v₀=m_nv_n
     得：vn=

m0

mn

v0
（2）考慮重力的影響，雨滴下落過程中做加速度為g的勻加速運動，碰撞瞬間動量守恒，
  a、第一次碰撞前 v12=v02+2gL，V1=

V02+2gL

     第一次碰撞后 m₀v₁=m₁V_n′
  Vn′=

m0

m1

v1=

m0

m1

v02+2gL

…①
  b、第2次碰撞前  v22=v′12+2gL
     利用①式化簡得：v22=(

m0

m1

)2 v02+(

m02+m12

m12

)2gL…②
   第2次碰撞后，利用②式得：v′22=(

m1

m2

)2v22=(

m0

m2

)2v02+(

m02+m12

m2 2

)2gL
   同理第三次碰撞后：v′32 =(

m0

m3

)2v02+(

m02+m12+m22

m32

)2gL
    以此類推…
    第n次碰撞后：v′n2=(

m0

mn

)2v02+(

n i=0 mi2

mn2

) 2gL 
    動能為：

1

2

 mnv′n2=

1

2mn

(m02v02+2gL

i=n

i=0

mi2)
答：（1）第n次碰撞后雨滴的速度vn=

m0

mn

v0
（2）a、第1次碰撞前、后雨滴的速度分別為V1=

V02+2gL

、Vn′=

m0

m1

v02+2gL

b、第n次碰撞后雨滴的動能

1

2

mnv′n2=

1

2mn

(m02v02+2gL

i=n

i=0

mi2)

點評：物理計算題中涉及n次過程重復出現的題目，往往需要不完全歸納的方法得出通項式，本題中雨滴的n次碰撞后的速度就是典型的例子．這是一道比較困難的好題．