Question

       雨滴在穿過云層的過程中，不斷與漂浮在云層中的小水珠相遇并結合為一體，其質量逐漸增大。現將上述過程簡化為沿豎直方向的一系列碰撞。已知雨滴的初始質量為m₀，初速度為v₀，下降距離l后與靜止的小水珠碰撞且合并，質量變為m₁。此后每經過同樣的距離l后，雨滴均與靜止的小水珠碰撞且合并，質量依次變為m₂、m₃……m_n……（設各質量為已知量）。不計空氣阻力。

       （1）若不計重力，求第n次碰撞后雨滴的速度v_n′；

       （2）若考慮重力的影響，

              a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v₁和v₁′；

              b.求第n次碰撞后雨滴的動能 v_n′²；

Answer 1

（20分）

（1）                   

（2）若考慮重力的影響，雨滴下降過程中做加速度為g的勻加速運動，碰撞瞬間動量守恒

a.                                

b．   

解析:

（20分）

本題考查多個過程中應用動量守恒定律、應用數學歸納法分析解決問題。

（1）不計重力，全過程中動量守恒，

得                         

（2）若考慮重力的影響，雨滴下降過程中做加速度為g的勻加速運動，碰撞瞬間動量守恒

a．第一次碰撞前            

第一次碰撞后            

                                ①

b．第2次碰撞前        

利用①式化簡得               ②

第2次碰撞后，利用②式得

                        

同理，第3次碰撞后     

                          ·················

第n次碰撞后          

動能