Question

3．如圖，質量為M的小車靜止在光滑的水平面上，小車AB段是半徑為R的四分之一圓弧光滑軌道，BC段是長為L的水平粗糙軌道，兩段軌道相切于B點，一質量為m的滑塊在小車上從A點靜止開始沿軌道滑下，然后滑入BC軌道，最后從C點滑出小車，已知滑塊質量與小車質量間的關系為2m=M，滑塊與軌道BC間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g．求：
（1）滑塊運動過程中，小車的最大速度v_m．
（2）當滑塊運動至C點時，小車的速度大小．
（3）滑塊從B到C運動過程中，小車的位移大小s．

Answer 1

分析 （1）滑塊到達B點時小車速度最大，小車與滑塊組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，應用動量守恒定律與能量守恒定律可以求出小車的最大速度．
（2）滑塊從A運動到C的過程中，小車與滑塊組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，應用動量守恒定律與能量守恒定律可以求出小車的最大速度．
（3）由牛頓第二定律求出小車的加速度，然后應用速度位移公式求出小車的位移．

解答 解：（1）滑塊到達B點時，小車的速度最大，
小車與滑塊組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，
以向右為正方向，由動量守恒定律得：mv-Mv_m=0，
滑塊從A到B過程，由能量守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$Mv_m²，
解得：v_m=$\sqrt{\frac{1}{3}gR}$；
（2）滑塊到C處過程小車與滑塊組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，
以向右為正方向，由動量守恒定律得：mv′-Mv″=0，
由能量守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv^′2+$\frac{1}{2}$Mv^″2+μmgL，
解得：v″=$\sqrt{\frac{1}{3}gR-\frac{1}{3}μgL}$；
（3）滑塊從B到C過程，小車的加速度：a=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{1}{2}$μg，
由勻變速直線運動的速度位移公式得：v_m²-v″²=2as，解得：s=$\frac{1}{3}$L；
答：（1）滑塊運動過程中，小車的最大速度v_m為$\sqrt{\frac{1}{3}gR}$．
（2）當滑塊運動至C點時，小車的速度大小為$\sqrt{\frac{1}{3}gR-\frac{1}{3}μgL}$．
（3）滑塊從B到C運動過程中，小車的位移大小s為$\frac{1}{3}$L．

點評 該題主要考查系統(tǒng)水平方向動量守恒和能量守恒的問題，求解兩物體間的相對位移，往往根據(jù)平均速度研究．也可以根據(jù)題目提供的特殊的條件：在任一時刻滑塊相對地面速度的水平分量是小車速度大小的2倍，不使用動量守恒定律．