Question

17．某光滑桌面上，整齊疊放著n本質量均為m的同種新書，處于靜止狀態(tài)，書本之間的摩擦因數均為μ、寬度為L，書本正前方有一固定的豎直擋板（厚度不計），書本到擋板距離為2L，如圖所示為側視圖．在水平向右的力F作用下，所有書本無相對滑動，一起向右運動．當上面書本撞擊擋板后便立即停止運動，直至下面書本全部通過擋板下方區(qū)域后，才掉落至桌面，且上面書本碰撞擋板前后對下面書本的壓力保持不變（不考慮書本形變）．已知重力加速度為g，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力大小，所有運動均為一維直線運動．則：
（1）若n=7，力F作用于第7本書上，大小為3μmg，求書本的加速度大小；
（2）若n=7，力F作用于第7本書上，大小為3μmg，求書本與擋板碰撞時的速度大小；
（3）若n=7，力F作用于第3本書上，求書本向右運動的最大加速度大小；
（4）若力F作用于第k（k≤n）本書，書本以最大加速度加速碰撞擋板，調節(jié)擋板高度使得碰撞后上方k本書停止運動，試討論下方書本能否穿出擋板及穿出后書本的速度大小．

Answer 1

分析 （1）對整體分析，運用動能定理求出書本與擋板碰撞時的速度大小；
（2）對下面4本書整體分析，抓住最大摩擦力的大小，根據牛頓第二定律求出最大加速度大小；
（3）若力F作用于書的上半區(qū)，結合牛頓第二定律求出最大加速度，根據速度位移公式求出碰撞前的速度，再結合速度位移公式求出下方書本穿出擋板的速度大小．
若力F作用于下半區(qū)，結合最大加速度求出碰撞前的速度，結合速度位移公式求出穿出后速度的表達式，通過穿出后速度大于零求出k的取值范圍．

解答 解：（1）對整體受力分析，根據牛頓第二定律可知F=7ma，解得a=$\frac{F}{7m}=\frac{3μmg}{7m}=\frac{3}{7}μg$
（2）有運動學公式可知$v=\sqrt{2as}=\frac{2}{7}\sqrt{21μg}$
（3）對下面4本書整體分析得：
μ•3mg=4m•a_m，
解得：${a}_{m}=\frac{3μg}{4}$．
（4）①若用力F作用于上半區(qū)，有：$k≤\frac{1}{2}n$，
則最大加速度為：a=$\frac{μkmg}{（n-k）m}$=$\frac{μkg}{n-k}$，
碰撞前的速度為：v₁=$\sqrt{2•\frac{μkg}{n-k}•2L}$，
當下方n-k本書穿越擋板時，加速度仍然是：$a=\frac{μkg}{n-k}$，
則穿出后的速度大小為：${v}_{2}=\sqrt{{v}_{1}^{2}-2•\frac{μkg}{n-k}•L}=\sqrt{2•\frac{μkg}{n-k}•L}$．
②若力F作用于下半區(qū)有：k$\frac{1}{2}n$，
則最大加速度為：$a=\frac{μkmg}{km}=μg$，
碰撞前速度為：${v}_{3}=\sqrt{2•μg•2L}$，
當下方n-k本書穿越擋板時，加速度為：a=$\frac{μkg}{n-k}$，
則穿出后的速度大小為：${v}_{4}=\sqrt{{v}_{3}^{2}-3•\frac{μkg}{n-k}•L}=\sqrt{2μgL•\frac{2n-3k}{n-k}}$，條件為：$\frac{1}{2}n≤k≤\frac{2}{3}n$．
③$\frac{2}{3}$n＜k＜n，下方書本不能穿出．
答：（1）書本與擋板碰撞時的速度大小為 $\frac{2\sqrt{21μgL}}{7}$．
（2）書本向右運動的最大加速度大小為 $\frac{3μg}{4}$．
（3）若用力F作用于上半區(qū)，k≤$\frac{1}{2}$n，穿出后的速度大小為 $\sqrt{2•\frac{μkg}{n-k}•L}$．
若力F作用于下半區(qū) $\frac{1}{2}$n≤k≤$\frac{2}{3}$n，穿出后的速度大小為 $\sqrt{2μgL•\frac{2n-3k}{n-k}}$．
若 $\frac{2}{3}$n＜k＜n，下方書本不能穿出．
答：（1）若n=7，力F作用于第7本書上，大小為3μmg，書本的加速度大小為$\frac{3}{7}μg$；
（2）若n=7，力F作用于第7本書上，大小為3μmg，求書本與擋板碰撞時的速度大小為$\frac{2}{7}\sqrt{21μg}$；
（3）若n=7，力F作用于第3本書上，求書本向右運動的最大加速度大小$\frac{3}{4}μg$；
（4）若用力F作用于上半區(qū)，$k≤\frac{1}{2}n$，穿出后的速度大小為$\sqrt{2•\frac{μkg}{n-k}•L}$．
若力F作用于下半區(qū)$\frac{1}{2}n≤k≤\frac{2}{3}n$，穿出后的速度大小為$\sqrt{2μgL•\frac{2n-3k}{n-k}}$．
若$\frac{2}{3}n＜k＜n$，下方書本不能穿出．

點評 本題考查了牛頓第二定律、運動學公式和動能定理的綜合運用，關鍵合理地選擇研究對象，通過牛頓第二定律求出加速度，通過運動學公式討論分析求解，有一定的難度．