Question

13．光滑絕緣水平面上有一水平向右的勻強電場，其場強大小分布如圖（a）所示．兩個質量均為m的帶電小球A和B由長為2L的輕桿相連，組成一帶電系統，球A帶電量為+2q，球B帶電量為-q．t=0時刻，帶電系統由如圖（b）所示位置從靜止開始運動．若視小球為質點，不計輕桿的質量，求：
（1）當球B剛進入電場時，帶電系統速度v₁的大小；
（2）當球A剛離開電場時，帶電系統速度v₂的大小；
（3）通過分析、計算、推理，描述帶電系統中的球B從x=0到x=5L的運動狀態，并作出對應的v-t圖．

Answer 1

分析 （1）在B進入電場前只有A球受電場力2qE，根據牛頓第二定律和運動學公式求B球剛進入電場時系統的速度的大小v．
（2）根據牛頓第二定律求出B進入電場后，帶電系統的加速度，帶電系統繼續做勻加速運動，根據速度位移公式即可求出A剛離開電場的速度；
（3）根據牛頓第二定律和運動學公式求出帶電粒子經過各個區域的時間，分段描述小球B的運動情況，再作出v-t圖象

解答 解：（1）設帶電系統開始運動時，加速度為a₁，由牛頓第二定律得：
${F}_{合}^{\;}=2m{a}_{1}^{\;}$     
解得：${a}_{1}^{\;}=\frac{2q{E}_{0}^{\;}}{2m}=\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}$
設球B剛進入電場時，帶電系統的速度為v₁，由${v}_{1}^{2}=2{a}_{1}^{\;}L$得：
${v}_{1}^{\;}=\sqrt{2{a}_{1}^{\;}L}=\sqrt{\frac{2q{E}_{0}^{\;}L}{m}}$
（2）設球B進入電場后，帶電系統的加速度為a₂，由牛頓第二定律得：
${F}_{合}^{\;}=2m{a}_{2}^{\;}$     
代入數據解得：${a}_{2}^{\;}=\frac{-q{E}_{0}^{\;}+2q{E}_{0}^{\;}}{2m}=\frac{q{E}_{0}^{\;}}{2m}$
帶電系統繼續做勻加速運動．
設球A剛離開電場時的速度為v₂，由${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}=2{a}_{2}^{\;}L$得：
${v}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{3q{E}_{0}^{\;}L}{m}}$
（3）設球B從靜止到剛進入電場的時間為t₁，（球B從x=0到x=L）則：
${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}=\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}^{\;}}}$
設從球B進入電場到球A離開電場經歷的時間為t₂，（球B從x=L 到x=2L）則：${t}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{2}^{\;}-{v}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=2（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$$\sqrt{\frac{mL}{q{E}_{0}^{\;}}}$
球A離開電場后，帶電系統做減速運動，設加速度為a₃，由牛頓第二定律得：
${F}_{合}^{\;}=2m{a}_{3}^{\;}$    
得 ${a}_{3}^{\;}=-\frac{q{E}_{0}^{\;}}{2m}$
設球B運動到電場邊緣（x=4L）處，速度為v₃，由${v}_{3}^{2}-{v}_{2}^{2}=2{a}_{3}^{\;}×2L$得：
${v}_{3}^{\;}=\sqrt{\frac{q{E}_{0}^{\;}L}{m}}$
設從球A離開電場到球B離開電場所需時間為t₃，（球B從x=2 L 到x=4L）則：
${t}_{3}^{\;}=\frac{{v}_{3}^{\;}-{v}_{2}^{\;}}{{a}_{3}^{\;}}$=$2（\sqrt{3}-1）\sqrt{\frac{mL}{q{E}_{0}^{\;}}}$
球B離開電場后（球B從x=4 L 到x=5L），就以v₃一直做勻速直線運動．
描述：（ 圖象加文字）
a-b過程（球B從x=0到x=L）是靜止出發，帶電系統以加速度a₁做勻加速運動，當球B進入電場時，速度為v₁，此過程經歷時間為t₁，通過距離為L；
b-c過程（球B從x=L 到x=2L）是帶電系統以加速度a₂繼續做勻加速運動，經歷時間為t₂，直到球A到達電場邊緣，速度為v₂，通過距離為L；
c-d 過程（球B從x=2 L 到x=4L）是帶電系統以加速度a₃做勻減速運動，經歷時間t₃，球B到達電場邊緣，速度為v₃，通過距離為2L；
d-e過程（球B從x=4 L 到x=5L）是帶電系統離開電場，以v₃做勻速直線運動，直至運動到x=5L 處，即e點．
由此可得v-t圖象如下

答：（1）當球B剛進入電場時，帶電系統速度v₁的大小為$\sqrt{\frac{2q{E}_{0}^{\;}L}{m}}$；
（2）當球A剛離開電場時，帶電系統速度v₂的大小為$\sqrt{\frac{3q{E}_{0}^{\;}L}{m}}$；
（3）描述：（ 圖象加文字）
a-b過程（球B從x=0到x=L）是靜止出發，帶電系統以加速度a₁做勻加速運動，當球B進入電場時，速度為v₁，此過程經歷時間為t₁，通過距離為L；
b-c過程（球B從x=L 到x=2L）是帶電系統以加速度a₂繼續做勻加速運動，經歷時間為t₂，直到球A到達電場邊緣，速度為v₂，通過距離為L；
c-d 過程（球B從x=2 L 到x=4L）是帶電系統以加速度a₃做勻減速運動，經歷時間t₃，球B到達電場邊緣，速度為v₃，通過距離為2L；
d-e過程（球B從x=4 L 到x=5L）是帶電系統離開電場，以v₃做勻速直線運動，直至運動到x=5L 處，即e點
由此可得v-t圖象如下

點評 解決本題的關鍵理清帶電系統在整個過程中的運動情況，結合牛頓第二定律和運動學公式綜合求解，綜合性較強，對學生的能力要求較高，需加強這方面的訓練．