Question

12．某課外活動小組自制了一枚土火箭，設火箭發射實驗時，始終在垂直于地面的方向上運動．火箭點火后可認為做勻加速直線運動，經過4s到達離地面40m高處時燃料恰好用完，若不計空氣阻力，取g=10m/s²，求：
（1）火箭的平均推力與重力的比值是多大？
（2）火箭能到達的離地最大高度是多少？
（3）燃料燃燒結束后，火箭經過多長時間落地？（保留三位有效數字）

Answer 1

分析 （1）根據平均速度的公式求出燃料燃盡時火箭的速度，根據動能定理列出火箭從開始到燃料燃盡時的表達式，得出火箭的平均推力與重力的比值．
（2）燃料燃盡后火箭做豎直上拋運動，根據速度時間公式和速度位移公式分別求出上升的時間和上升的高度，從而得出火箭離地面的最大高度．
（3）火箭到達最大高度后做自由落體運動，求出自由下落的時間，從而得出上升和下降的時間，即燃料燃燒結束后，火箭還能飛行的時間．

解答 解：（1）設燃料燃燒結束時火箭的速度為v，根據運動學公式可得：h=$\frac{v}{2}t$，
解得：v=$\frac{2h}{t}=\frac{80}{4}m/s=20m/s$
根據動能定理有：$Fh-mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
由此可得：$\frac{F}{mg}=\frac{3}{2}$；
（2）火箭能夠繼續上升的時間：${t}_{1}=\frac{v}{g}$=$\frac{20}{10}s=2s$，
火箭能夠繼續上升的高度${h}_{1}=\frac{v}{2}{t}_{1}=\frac{20}{2}×2m=20m$，
火箭離地的最大高度H=h+h₁=60m；
（3）火箭由最高點落至地面的時間t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×60}{10}}s=2\sqrt{3}s≈3.46s$，
燃料燃燒結束后，火箭飛行的時間T=t₁+t₂=5.46s．
答：（1）火箭的平均推力與重力的比值是$\frac{3}{2}$；
（2）火箭能到達的離地面的最大高度是60m；
（3）燃料燃燒結束后，火箭還能飛行5.46s．

點評 解決本題的關鍵理清火箭的運動過程，結合動能定理、運動學公式靈活求解；本題的第一問也可以根據位移速度關系求解加速度大小，再根據牛頓第二定律列方程求解比值．