Question

19．尋找地外文明一直是科學家們不斷努力的目標．為了探測某行星上是否存在生命，科學家們向該行星發射了一顆探測衛星，衛星繞該行星做勻速圓周運動的半徑為r，衛星的質量為m，該行星的半徑為R，質量為M，引力常量為G，試求：
（1）該衛星做圓周運動的向心力的大小；
（2）衛星的運行周期；
（3）衛星運行的線速度．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力公式求出萬有引力．
（2）萬有引力提供向心力，應用牛頓第二定律可以求出衛星的周期．
（3）萬有引力提供向心力，應用牛頓第二定律可以求出衛星的線速度．

解答 解：（1）萬有引力提供向心力，向心力：$F=G\frac{Mm}{r^2}$；
（2）萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$，
解得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$；
（3）萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$，
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$；
答：（1）該衛星做圓周運動的向心力的大小為G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$；
（2）衛星的運行周期為2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$；
（3）衛星運行的線速度為$\sqrt{\frac{GM}{r}}$．

點評 本題考查了萬有引力定律的應用，知道萬有引力提供向心力是解題的關鍵，應用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題．