Question

8．如圖，P為處于水平面內的轉盤，可繞豎直轉軸OO'轉動，長度為l的纜繩一端懸掛在轉盤邊緣，另一端栓接一質量為m的小球，轉盤靜止時纜繩頂端與轉軸間的距離為d，現讓轉盤由靜止逐漸加速轉動，經過一段時間后小球與轉盤一起做勻速圓周運動，且纜繩與轉軸在同一豎直面內．此時纜繩與豎直方向的夾角為θ，不計空氣阻力及纜繩重力，重力加速度為g，下列判斷正確的是（　　）

• A． 小球與轉盤一起做勻速圓周運動時，小球受到纜繩的拉力大小為mgcosθ
• B． 小球從靜止到做勻速圓周運動的過程中，纜繩對小球做的功為$\frac{1}{2}$mgdtanθ
• C． 小球從靜止到做勻速圓周運動的過程中，纜繩對小球做的功為$\frac{1}{2}$mg（d+lsinθ）tanθ+mgl（1+cosθ）
• D． 如果圓盤穩定轉動時的角速度不變，換一個質量更大的小球隨其轉動，穩定時纜繩與豎直方向的夾角θ不變

Answer 1

分析 質點與轉盤一起做勻速圓周運動時，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求小球受到纜繩的拉力和小球的速度，再根據動能定理研究質點從靜止到做勻速圓周運動的過程中，得到繩子對小球做的功．由角速度的表達式分析纜繩與豎直方向的夾角θ與小球質量的關系．

解答 解：A、小球與轉盤一起做勻速圓周運動時，由重力和繩子的拉力的合力提供質點圓周運動的向心力，如圖，則小球受到纜繩的拉力大小為 T=$\frac{mg}{cosθ}$，故A錯誤．
BC、設小球做勻速圓周運動時速度大小為v，則有
   mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{d+lsinθ}$
對于小球從靜止到做勻速圓周運動的過程中，重力做功為-mgl（1-cosθ），設繩子拉力做功為W，則根據動能定理得：
  W-mgl（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯立①②得：W=$\frac{1}{2}$mg（d+lsinθ）tanθ+mgl（1-cosθ）．故B、C錯誤．
D、由v=ω（d+lsinθ）及mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{d+lsinθ}$得ω=$\sqrt{\frac{gtanθ}{（d+lsinθ）}}$，可知，ω與小球的質量無關，所以如果圓盤穩定轉動時的角速度不變，換一個質量更大的小球隨其轉動，穩定時纜繩與豎直方向的夾角θ不變，故D正確．
故選：D

點評 本題中小球從靜止到做勻速圓周運動的過程中，繩子拉力是變力，要首先考慮運用動能定理求解變力的功．要知道小球與轉盤一起做勻速圓周運動時，由重力和繩子的拉力的合力提供質點圓周運動的向心力．