Question

17．如圖所示，豎直平面內有一光滑直桿AB，桿與豎直方向的夾角為θ（0°≤θ≤90°），一質量為m的小圓環套在直桿上．給小圓環施加一于該豎直平面平行的恒力F，并從A端由靜止釋放．改變直桿和豎直方向的夾角θ，當直桿與豎直方向的夾角為60°時，小圓環在直桿上運動的時間最短，重力加速度為g，則（　�。�

• A． 恒力F一定沿與水平方向夾角30°斜向右下的方向
• B． 恒力F和小圓環的重力的合力一定沿與水平方向夾角30°斜向右下的方向
• C． 恒力F的最小值為$\frac{1}{2}$mg
• D． 若恒力F的方向水平向右，則恒力F的大小為$\sqrt{3}$mg

Answer 1

分析 根據題意，結合牛頓第二定律，可知，力與重力的合力方向一定沿桿的方向，再依據矢量的合成法則，及三角知識，即可求解．

解答 解：A、根據題意，小圓環在直桿上運動的時間最短，則加速度最大，即力與重力的合力方向沿桿的方向，那么恒力F的方向不確定，故A錯誤；
B、由于小圓環在直桿上運動的時間最短，即加速度方向沿桿的方向，而恒力F和小圓環的重力的合力一定沿與水平方向夾30°斜向右下的方向，即為桿的方向，故B正確；
C、合力F_合與mg、F三力可構成矢量三角形，如下圖所示：

由圖可知，當F與F_合垂直時，即與斜面垂直時，F有最小，則有：F_min=mgsin60°=$\frac{\sqrt{3}mg}{2}$，故C錯誤；
D、要使時間最短，則加速度最大，即不論F多大，沿何種方向，確定的力F與mg的合力方向沿桿向下，
當恒力F的方向水平向右，如圖所示的受力，

則有：F=$\frac{mg}{tan30°}$=$\sqrt{3}$mg，故D正確；
故選：BD

點評 考查受力分析與運動分析的應用，掌握牛頓第二定律的內容，理解矢量的合成法則與三角知識的運用，注意時間最短，即加速度沿桿的方向是解題的突破口．