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20.如圖所示,太陽和地球組成“日地雙星系統”,兩者繞共同的圓心C(圖中未畫出)做周期相同的圓周運動.數學家拉格朗日發現,處在拉格朗日點(如圖所示)的航天器在太陽和地球引力的共同作用下可以繞“日地雙星系統”的圓心C做周期相同的圓周運動,從而使日、地、航天器三者在太空的相對位置保持不變.不考慮航天器對日地雙星系統的影響,不考慮其它天體對該系統的影響.已知:太陽質量為M地球質量為m太陽與地球球心距離為d則下列說法正確的是(  )
A.位于拉格朗日點繞C穩定運行的航天器,其向心加速度小于地球的向心加速度
B.日地雙星系統的周期為T=2π$\sqrt{\frac{p9vv5xb5^{3}}{GMm}}$
C.圓心C太陽和地球的連線上,距離太陽和地球球心的距離之比等于太陽和地球的質量之比
D.拉格朗日點距地球球心的距離x滿足關系式G$\frac{M}{{(d+x)}^{2}}$+G$\frac{m}{{x}^{2}}$=G$\frac{M+m}{p9vv5xb5^{3}}$(X+$\frac{dM}{M+m}$)

分析 位于拉格朗日點的繞C點穩定運行的航天器的周期與地球的周期相同,根據$a=(\frac{2π}{T})^{2}r$可知,離C點越遠加速度越大.
根據萬有引力提供向心力,對地球:$G\frac{Mm}{p9vv5xb5^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$,對太陽:$G\frac{Mm}{p9vv5xb5^{2}}=M\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{2}$,由此二式可以解得周期T和地球距離C點的距離.
航天器在太陽和地球引力的共同作用下可以繞“日地雙星系統”的圓心C點做周期相同的圓周運動,設航天器的質量為m0,根據合力提供向心力得$G\frac{M{m}_{0}}{(d+x)^{2}}+G\frac{m{m}_{0}}{{x}^{2}}={m}_{0}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}(x+\frac{dM}{M+m})$,代入周期化簡即可.

解答 解:A、位于拉格朗日點的繞C點穩定運行的航天器的周期與地球的周期相同,根據$a=(\frac{2π}{T})^{2}r$可知,離C點越遠加速度越大,故A錯誤.
B、太陽和地球組成“日地雙星系統”,兩者繞共同的圓心C點(圖中未畫出)做周期相同的圓周運動.
根據萬有引力提供向心力,對地球:$G\frac{Mm}{p9vv5xb5^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$
對太陽:$G\frac{Mm}{p9vv5xb5^{2}}=M\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{2}$
兩式相加$G\frac{M+m}{p9vv5xb5^{2}}=\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}({r}_{1}+{r}_{2})$
因為d=r1+r2
所以$T=2π\sqrt{\frac{p9vv5xb5^{3}}{G(M+m)}}$
故B錯誤.
C、由$G\frac{Mm}{p9vv5xb5^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$和$G\frac{Mm}{p9vv5xb5^{2}}=M\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{2}$可得$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}=\frac{m}{M}$,即圓心C點在太陽和地球的連線上,距離太陽和地球球心的距離之比等于太陽和地球的質量的反比,故C錯誤.
D、根據$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}=\frac{m}{M}$和d=r1+r2可得,地球距離圓心C點距離為${r}_{1}=\frac{dM}{M+m}$
航天器在太陽和地球引力的共同作用下可以繞“日地雙星系統”的圓心C點做周期相同的圓周運動,設航天器的質量為m0
則$G\frac{M{m}_{0}}{(d+x)^{2}}+G\frac{m{m}_{0}}{{x}^{2}}={m}_{0}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}(x+\frac{dM}{M+m})$
即$G\frac{M}{{(d+x)}^{2}}+G\frac{m}{{x}^{2}}=G\frac{M+m}{p9vv5xb5^{3}}(x+\frac{dM}{M+m})$
故D正確.
故選:D

點評 本題考查萬有引力的應用,題目較為新穎,在解題時要注意分析向心力的來源及題目中隱含的條件.

練習冊系列答案
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A.v2:v1=1:1B.v1:v2=41:42C.v1:v2=42:41D.v1:v2=41:83

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(2)為了減小誤差,改變h的數值,測出多組數據,記錄在表格聽t是水滴從水龍頭口到擋板所用的時間,即水滴在空中運動的時間,請在上圖的坐標紙中作出適當的圖象,并利用圖象求出重力加速度的值g=9.7m/s2.(要求保留兩位有效數字)
次數高度h/cm空中運動時間t/s$\frac{1}{2}$t2/s2
120.00.200.020
225.00.220.024
332.00.260.034
438.00.280.040
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