Question

20．如圖所示的xOy平面內(nèi)，y軸左側(cè)存在著沿x軸正方向、大小為E的勻強電場，右側(cè)存在垂直紙面向外的勻強磁場．一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，從負(fù)x軸上的P沿y軸正方向射入電場，后經(jīng)y軸上的O點進入磁場，進入磁場時速度大小為v，方向與y軸正方向夾角為30°，一段時間后粒子可以再次經(jīng)過Q點，不計粒子重力．求：
（1）P點到坐標(biāo)原點O的距離x；
（2）磁感應(yīng)強度的大小B；
（3）粒子從第一次經(jīng)過Q點到第二次經(jīng)過Q點的時間t．

Answer 1

分析 （1）從P點到Q點粒子做類平拋運動，由于已知末速度的大小和方向、粒子的加速度，則由速度的合成可以求出水平的末速度，從而求出P點離O點的距離．
（2）由運動的對稱性，先考慮只在電場運動一次的情況，由進入磁場的速度方向確定圓心的位置和半徑，由洛侖茲力提供向心力可以求得此種情況下的磁感應(yīng)強度．當(dāng)然難度比較大的是粒子在磁場中多次做勻速圓周運動的情況：找到粒子先后兩次進入電場的兩點Q₁、Q₂的距離與半徑和Q點縱坐標(biāo)的半徑，若有nQ₁Q₂=r，則粒子又一次從Q點進入磁場．
（3）按以上情況進行考慮，分別求出電場和磁場中的時間，相加得到總時間．

解答 解：（1）粒子在電場中做類平拋運動，在y軸方向做勻速運動，x軸方向做勻加速運動，加速度大小為a，
  則有
  v_x=vsin30°                                                          
  qE=ma                                                             
  v_x²=2ax                                                             
  解得x=$\frac{m{v}^{2}}{8qE}$                                                         
（2）粒子在磁場中作勻速圓周運動，設(shè)半徑為r，有
   qvB=$m\frac{{v}^{2}}{r}$
   得r=$\frac{mv}{qB}$                                                           
   設(shè)OQ間距離為y，分兩種情況討論：
       若粒子再次到達Q點前有經(jīng)過P點，則其軌跡如圖a，粒子從P點到Q時間為t₁
       則y=vcos30°•t₁                                  
       vsin30°=a t₁                                     
       解得y=$\frac{\sqrt{3}m{v}^{2}}{4qE}$                            
      由幾何關(guān)系得y=$\frac{r}{2}$                                
      解得 B₁=$\frac{2E}{\sqrt{3}v}$                                    
    ②若粒子再次到達Q點前沒有經(jīng)過P點，在磁場中又重復(fù)n次周期性運動后才
       再次經(jīng)過Q點，則其軌跡如圖b，Q₁、Q₂分別為粒子第一次和第二次從
       場進入電場時軌跡和y軸的交點，則有
         Q₁Q₂=2y-r                                                        
         Q₁Q=nQ₁Q₂  （n=1、2、3、…）                                     
         又  QQ₁=r                                                        
        得r=$\frac{n}{n+1}$2y
       解得B₂=$\frac{2（n+1）E}{n\sqrt{3}v}$  （n=1，2，3，…）                              
（3）粒子在電場中從P到Q的運動時間為t₁=$\frac{y}{vcos30°}$=$\frac{mv}{2qE}$   
   粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角θ=$\frac{5}{3}π$                      
   從進入磁場到離開磁場的時間t₂=$\frac{θ}{2π}$T                  
    其中，T=$\frac{2πm}{qB}$                                      
   分兩種情況：
  ①若粒子到達Q前有經(jīng)過P點，則t=2t₁+t₂=（6+5$\sqrt{3}$π） $\frac{mv}{6qE}$               
  ②若粒子到達Q前沒有經(jīng)過P點，則
   t′=n（2t₁+t₂）+t₂=（6+5$\sqrt{3}$π）$\frac{nmv}{6qE}$（n=1、2、3、…）                    
答：（1）P點到坐標(biāo)原點O的距離x為$\frac{m{v}^{2}}{8qE}$．
（2）磁感應(yīng)強度的大小B為$\frac{2E}{\sqrt{3}v}$或$\frac{2（n+1）E}{n\sqrt{3}v}$（n=1，2，3，…）．
（3）粒子從第一次經(jīng)過Q點到第二次經(jīng)過Q點的時間為（6+5$\sqrt{3}$π）$\frac{mv}{6qE}$或（6+5$\sqrt{3}$π）$\frac{nmv}{6qE}$（n=1、2、3、…）

點評 本題的難點在于第二問和第三問的多解情況，粒子有可能在磁場中旋轉(zhuǎn)多次后才從Q點經(jīng)過，這里可以從第一次和第二次從y軸經(jīng)過位置關(guān)系入手，找到該兩點位置與粒子半徑和Q點坐標(biāo)的關(guān)系，再利用運動學(xué)相關(guān)規(guī)律就能得到結(jié)論．