Question

如圖所示，一小球從斜軌道的某高度處自由滑下，然后沿豎直圓軌道的內側運動．已知圓軌道的半徑為R，重力加速度為g．如果忽略阻力，要使小球能夠通過圓軌道的最高點，且軌道對小球的壓力不超過小球重力的3倍，小球的初位置相對于圓形軌道底部的高度H的取值范圍是多大？

Answer 1

分析：使小球能夠通過圓軌道最高點，那么小球在最高點時應該是恰好是物體的重力作為物體的向心力，由向心力的公式可以求得此時的最小的速度，由機械能守恒可以求得高度H的最小值．當軌道對小球的壓力為小球重力的3倍時，由牛頓第二定律和機械能守恒結合，求出H的最大值，即可得解．

解答：解：設質量為m的小球恰能通過圓軌道最高點時，此時速度為v₁，初位置相對于圓軌道最低部的高度為H₁，由機械能守恒定律得：
  mgH₁=2mgR+

1

2

m

v

2 1

小球在最高點受重力mg，軌道的壓力為N，重力與壓力的合力提供向心力，有：
  mg+N=m

v 2 1

R

小球恰能通過圓軌道最高點的條件是 N=0
解得：H=

5

2

R
軌道對小球的壓力不超過小球重力的3倍時，此時速度為v₂，初位置相對于圓軌道最低部的高度為H₂，由機械能守恒定律得：
  mgH₂=2mgR+

1

2

m

v

2 2

  mg+N=m

v 2 2

R

按題的要求，N≤3mg
解得：H≤4R
小球的初位置相對于圓形軌道底部的高度H的取值范圍是：

5

2

R≤H≤4R．
答：小球的初位置相對于圓形軌道底部的高度H的取值范圍是：

5

2

R≤H≤4R．

點評：本題屬于圓周運動中繩的模型，在最高點時應該是重力恰好做為圓周運動的向心力，對于圓周運動中的兩種模型一定要牢牢的掌握住．