Question

2．如圖甲所示，在直角坐標系0≤x≤L區域內有沿y軸正方向的勻強電場，右側有一個以點（3L，0）為圓心、半徑為L的圓形區域，圓形區域與x軸的交點分別為M、N．現有一質量為m、帶電量為e的電子，從y軸上的A點以速度v₀沿x軸正方向射入電場，飛出電場后從M點進入圓形區域，此時速度方向與x軸正方向的夾角為30°．不考慮電子所受的重力．
（1）求電子進入圓形區域時的速度大小和勻強電場場強E的大小；
（2）若在圓形區域內加一個垂直紙面向里的勻強磁場，使電子穿出圓形區域時速度方向垂直于x軸．求所加磁場磁感應強度B的大小和電子剛穿出圓形區域時的位置坐標；
（3）若在電子剛進入圓形區域時，在圓形區域內加上圖乙所示變化的磁場（以垂直于紙面向外為磁場正方向），最后電子從N點處飛出，速度方向與進入磁場時的速度方向相同．請寫出磁感應強度B₀的大小、磁場變化周期T各應滿足的關系表達式．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子先在電場中做類平拋運動，離開電場后做勻速直線運動從M點射入磁場，由于知道速度的方向以及進入電場的速度，則由速度的合成就能求得離開電場的速度，即進入磁場的速度．由類平拋運動規律求出加速度，從而求出電場強度大小．
（2）由題意知，當與水平x軸成30°進入磁場時又豎直向下穿出磁場時，粒子恰好偏轉60°，由幾何關系知道帶電粒子做勻速圓周運動的半徑恰好等于磁場區域的半徑，由洛侖茲力提供向心力可以求得磁感應強度．
（3）若在電子剛進入圓形區域時，在圓形區域內加上圖乙所示變化的磁場（以垂直于紙面向外為磁場正方向），最后電子從N點處飛出，速度方向與進入磁場時的速度方向相同，根據題目要求大致找出帶電粒子在正負磁場里做勻速圓周運動的半徑和周期關系，從而畫出最簡單的軌跡圖，再從一般情況去考慮多解情況，從而可以求得磁感應強度及周期的表示式．

解答 解：（1）電子在電場中作類平拋運動，射出電場時，速度分解圖如圖1中所示．
  由速度關系可得：$\frac{{v}_{0}}{v}$=cosθ
  解得：v=$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
  由速度關系得：v_y=v₀tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
  在豎直方向：v_y=at=$\frac{Ee}{m}t$
  而水平方向上t=$\frac{L}{{v}_{0}}$　
  解得：E=$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{3eL}$
（2）根據題意作圖如圖1所示，電子做勻速圓周運動的半徑R=L
  根據牛頓第二定律：qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
  解得：B=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3eL}$
  根據幾何關系得電子穿出圓形區域時位置坐標為（$\frac{5L}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}L$）
（3）電子在在磁場中最簡單的情景如圖2所示．
  在磁場變化的前三分之一個周期內，電子的偏轉角為60°，設電子運動的軌道半徑為r，運動的T₀，粒子在x軸方向上的位移恰好等于r₁；
  在磁場變化的后三分之二個周期內，因磁感應強度減半，電子運動周期T′=2T₀，故粒子的偏轉角度仍為60°，電子運動的軌道半徑變為2r，粒子在x軸
  方向上的位移恰好等于2r．
  綜合上述分析，則電子能到達N點且速度符合要求的空間條件是：
   3rn=2L（n=1，2，3…）
而：r=$\frac{mv}{{B}_{0}e}$
解得：B₀=$\frac{n\sqrt{3}m{v}_{0}}{eL}$   （n=1，2，3…）
應滿足的時間條件為：$\frac{1}{6}（{T}_{0}+T′）$=T
而：T₀=$\frac{2πm}{e{B}_{0}}$    $T′=\frac{2πm}{\frac{{B}_{0}}{2}e}$
解得T=$\frac{\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$   （n=1，2，3…）
答：（1）電子進入圓形區域時的速度大小為$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$，勻強電場場強E的大小$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{3eL}$．
（2）若在圓形區域內加一個垂直紙面向里的勻強磁場，使電子穿出圓形區域時速度方向垂直于x軸．則所加磁場磁感應強度B的大小為$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3eL}$，電子剛穿出圓形區域時的位置坐標為（$\frac{5L}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}L$）．
（3）磁感應強度B₀的大小$\frac{n\sqrt{3}m{v}_{0}}{eL}$、磁場變化周期T應為$\frac{\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$   （其中n=1，2，3…）．

點評 本題的靚點在于第三問，綜合題目要求及帶電粒子運動的半徑和周期關系，則符合要求的粒子軌跡必定是粒子先在正B₀中偏轉60°，而后又在$-\frac{1}{2}$B₀中再次偏轉60°，經過n次這樣的循環后恰恰從N點穿出．先從半徑關系求出磁感應強度的大小，再從周期關系求出交變磁場周期的大小．