Question

13．如圖所示，金屬框架與水平面成30°角，勻強磁場的磁感強度B=0.4T，方向垂直框架平面向上，金屬棒長l=0.5m，重量為0.1N，可以在框架上無摩擦地滑動，棒與框架的總電阻為2Ω，運動時可認為不變，導體棒剛開始距離地面2m，問：
（1）要棒以2m/s的速度沿斜面向上滑行，應在棒上加多大沿框架平面方向的外力？
（2）當棒運動到某位置時，外力突然消失，棒將如何運動？
（3）若棒滑到地面前，棒能達到最大速度，求最大速度為多少以及此時電路的電功率多大？
（4）求導體棒在距離地面2m高處撤去外力F后回到地面時整個回路所產生的焦耳熱？

Answer 1

分析 （1）分析棒的受力情況，作出受力圖，根據平衡條件、感應電動勢公式E=BLv₀、歐姆定律和安培力公式結合，即可求得外力的大小．
（2）撤去外力后，金屬棒先減速到零，后又反向加速，直至再次達到平衡時勻速運動．
（3）棒勻速運動時，受力平衡，推導出安培力與速度的關系式，再由平衡條件求出最大速度，電路的電功率等于安培力的功率．
（4）根據動能定理求安培力做功，根據克服安培力做功等于電路中產生的電熱．

解答 解：（1）金屬棒受力如圖所示，則有：
F-F_安-mgsin30°=0
其中F_安=BIl
I=$\frac{E}{R}$
又E=Blv₀
則得：F_安=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R}$
聯立并代入數據得：F_安=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R}$+mgsin30°=$\frac{0．{4}^{2}×0．{5}^{2}×2}{2}$+0.1×0.5=0.09N
（2）撤去外力后，金屬棒先減速到零，后又反向加速，直至再次達到平衡時勻速運動．
（3）平衡時受力如圖所示，則有：mgsin30°-F_安=0
又F_安=BIl=B$\frac{Blv}{R}$l
聯立以上各式解得：v=$\frac{mgRsin30°}{{B}^{2}{l}^{2}}$=$\frac{0.1×2×\frac{1}{2}}{0．{4}^{2}×0．{5}^{2}}$m/s=2.5m/s
電路的電功率為：P=Fv=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}^{2}}{R}$=$\frac{0．{4}^{2}×0．{5}^{2}×2．{5}^{2}}{2}$=0.125W
（4）以導體棒為研究對象，從導體棒在距離地面2m高處撤去外力F后回到地面時對其應用動能定理：
W_G-W_安=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{max}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²
帶入數據解得：W_安=-0.1875J            
由于此過程安培力一直做負功，將部分重力勢能轉化為電能，
所以  Q=W _安=0.1875J
答：（1）要棒以v₀=2m/s的速度沿斜面向上滑行，應在棒上加0.09N沿框架平面方向與導軌平行的外力．
（2）撤去外力后，金屬棒先減速到零，后又反向加速，直至再次達到平衡時勻速運動．
（3）棒勻速運動時的速度為2.5m/s，達最大速度時，電路的電功率為0.125W
（4）整個回路所產生的焦耳熱為0.1875J．

點評 該題是電磁感應的綜合應用，涉及到受力平衡、法拉第電磁感應定律、閉合電路的歐姆定律以及能量的轉化與守恒，綜合性相對較強，關鍵要正確分析棒的受力情況，判斷其運動情況，熟練推導出安培力與速度的關系式．