Question

3．如圖所示，兩根豎直固定的足夠長的金屬導軌cd和ef相距L=0.2m，另外兩根水平金屬桿MN和PQ的質量均為m=2×10^-2kg，可沿導軌無摩擦地滑動，MN桿和PQ桿的電阻均為R=0.1Ω（豎直金屬導軌電阻不計），PQ桿放置在水平絕緣平臺上，整個裝置處于勻強磁場內，磁場方向垂直于導軌平面向里，磁感應強度B=1.0T．現讓MN桿在恒定拉力作用下由靜止開始向上加速運動，已知MN桿達到最大速度時，PQ桿對絕緣平臺的壓力恰好為零．（g取10m/s²）求：
（1）當MN桿的最大速度V_m為多少？
（2）若將PQ桿固定，讓MN桿在豎直向上的恒定拉力F=2N的作用下由靜止開始向上運動．若桿MN發生的位移為h=1.8m時達到最大速度．求最大速度和加速時間．

Answer 1

分析 （1）據題MN桿的速度達到最大時，PQ桿對平臺的壓力為零，只受重力和安培力，二力平衡，列式求出電路中的電流，由閉合電路歐姆定律求得MN桿產生的感應電動勢，由公式E=BLv求出MN桿的最大速度；
（2）對MN棒由受力平衡求出最大速度，加速過程取很短時間△t對MN根據牛頓第二定律列式，由微元法求出t

解答 解：（1）最大速度時PQ桿受力平衡有：BIL=mg
由閉合電路歐姆定律得：E=I•2R
MN桿切割磁感線，產生的電動勢為：$E=BL{v}_{m}^{\;}$
聯立得最大速度為：${v}_{m}^{\;}=\frac{2mgR}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}=\frac{2×2×1{0}_{\;}^{-2}×10×0.1}{{1}_{\;}^{2}×0．{2}_{\;}^{2}}$=1m/s
（2）當速度最大時，加速度為0，設最大速度為v
感應電動勢E=BLv
感應電流$I=\frac{BLv}{2R}$
安培力：${F}_{安}^{\;}=BIL=\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{2R}$
對MN：$F-mg-\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{2R}=0$
代入數據：$2-2×1{0}_{\;}^{-2}×10-\frac{{1}_{\;}^{2}×0．{2}_{\;}^{2}v}{0.2}=0$
解得：v=9m/s
設經很短時間△t，對MN由牛頓第二定律，有：
$F-mg-\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{2R}=ma$
$a=\frac{△v}{△t}$
即：$F-mg-\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{2R}=m\frac{△v}{△t}$
$（F-mg）△t-\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v△t}{2R}=m△v$
兩邊求和：$1.8t-0.2×1.8=2×1{0}_{\;}^{-2}×9$
解得：t=0.3s
答：（1）當MN桿的最大速度V_m為1m/s
（2）若將PQ桿固定，讓MN桿在豎直向上的恒定拉力F=2N的作用下由靜止開始向上運動．若桿MN發生的位移為h=1.8m時達到最大速度．最大速度9m/s和加速時間0.3s．

點評 解決本題的關鍵通過物體的受力判斷物體的運動規律，知道當加速度為零時，速度最大．能運用電磁感應與力學知識結合解答．